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Posts about Funciones reales
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Si `f(x) ≤ f(y) → x ≤ y`, entonces f es inyectiva
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Si una función es creciente e involutiva, entonces es la identidad
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La composición de una función creciente y una decreciente es decreciente
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La función x ↦ -x no es monótona creciente
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La función real f no es monótona syss existen x, y tales que x ≤ y y f(x) > f(y)
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Si f no es monótona, entonces ∃x∃y[x ≤ y ∧ f(y) < f(x)]
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Si ¬(∀a)(∃x)[f(x) > a], entonces f está acotada superiormente
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Si f no está acotada superiormente, entonces (∀a)(∃x)[f(x) > a]
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No para toda f monótona, (∀a,b)[f(a) ≤ f(b) → a ≤ b]
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Si a, b ∈ ℝ tales que a ≤ b y f(b) < f(a), entonces f no es monótona
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Si f es monótona y f(a) < f(b), entonces a < b
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La función identidad no está acotada superiormente
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Si para cada a existe un x tal que f(x) < a, entonces f no tiene cota inferior
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Si para cada a existe un x tal que f(x) > a, entonces f no tiene cota superior
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Si f es una función real suprayectiva, entonces existe x ∈ ℝ tal que f(x)² = 9
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Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx + d) es suprayectiva
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Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx) es suprayectiva
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La función (x ↦ x + c) es suprayectiva
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Si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c·f también lo está
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Si a es una cota superior de f y c ≥ 0, entonces ca es una cota superior de cf
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La suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está
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La suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está
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Si c ≠ 0, entonces la función (x ↦ cx) es inyectiva
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La función (x ↦ x + c) es inyectiva
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Si f es par y g es impar, entonces (f ∘ g) es par
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El producto de una función par por una impar es impar
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El producto de dos funciones impares es par
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La suma de dos funciones pares es par
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La composición de dos funciones monótonas es monótona
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Si c es no negativo y f es monótona, entonces cf es monótona.
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La suma de dos funciones monótonas es monótona
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Si a es una cota superior no negativa de f y b es una cota superior de la función no negativa g, entonces ab es una cota superior de fg
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El producto de funciones no negativas es no negativo
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La suma de una cota inferior de f y una cota inferior de g es una cota inferior de f+g
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La suma de una cota superior de f y una cota superior de g es una cota superior de f+g
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En ℝ, {0 < ε, ε ≤ 1, |x| < ε, |y| < ε} ⊢ |xy| < ε