Calculemus (Publicaciones sobre Teoría de números)

Un número es par si y solo si lo es su cuadrado

José A. Alonso — Mon, 27 May 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que un número es par si y solo si lo es su cuadrado.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Even
import Mathlib.Tactic

open Int

variable (n : ℤ)

example :
  Even (n^2) ↔ Even n :=
by sorry

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Si n² es par, entonces n es par

José A. Alonso — Fri, 26 Jan 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si (n²) es par, entonces (n) es par.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
open Nat
variable (n : ℕ)

example
  (h : 2 ∣ n ^ 2)
  : 2 ∣ n :=
by sorry

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Existen infinitos números primos

José A. Alonso — Thu, 25 Jan 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que existen infinitos números primos.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs

open Nat

example
  (n : ℕ) :
  ∃ p, n ≤ p ∧ Nat.Prime p :=
by sorry

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Si m divide a n o a k, entonces m divide a nk.

José A. Alonso — Wed, 17 Jan 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(m\) divide a \(n\) o a \(k\), entonces \(m\) divide a \(nk\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {m n k : ℕ}

example
  (h : m ∣ n ∨ m ∣ k)
  : m ∣ n * k :=
by sorry

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3 divide al máximo común divisor de 6 y 15

José A. Alonso — Fri, 29 Dec 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que 3 divide al máximo común divisor de 6 y 15.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

open Nat

example : 3 ∣ gcd 6 15 :=
by sorry

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Existen números primos m y n tales que 4 < m < n < 10

José A. Alonso — Mon, 18 Dec 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que existen números primos \(m\) y \(n\) tales que \(4 < m < n < 10\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs
import Mathlib.Tactic

example :
  ∃ m n : ℕ, 4 < m ∧ m < n ∧ n < 10 ∧ Nat.Prime m ∧ Nat.Prime n :=
by sorry

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Si (m ∣ n ∧ m ≠ n), entonces (m ∣ n ∧ ¬(n ∣ m))

José A. Alonso — Wed, 13 Dec 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si (m ∣ n ∧ m ≠ n), entonces (m ∣ n ∧ ¬(n ∣ m)).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

variable {m n : ℕ}

example
  (h : m ∣ n ∧ m ≠ n)
  : m ∣ n ∧ ¬ n ∣ m :=
by sorry

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Si a divide a b y a c, entonces divide a b+c

José A. Alonso — Tue, 07 Nov 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(a\) divide a \(b\) y a \(c\), entonces divide a \(b+c\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {a b c : ℕ}

example
  (h1 : a ∣ b)
  (h2 : a ∣ c)
  : a ∣ (b + c) :=
by sorry

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Transitividad de la divisibilidad

José A. Alonso — Mon, 06 Nov 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 la transitividad de la divisibilidad.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {a b c : ℕ}

example
  (divab : a ∣ b)
  (divbc : b ∣ c) :
  a ∣ c :=
by sorry

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Si x e y son sumas de dos cuadrados, entonces xy también lo es

José A. Alonso — Fri, 03 Nov 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(x\) e \(y\) son sumas de dos cuadrados, entonces \(xy\) también lo es

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _} [CommRing α]
variable {x y : α}

-- (suma_de_cuadrados x) afirma que x se puede escribir como la suma
-- de dos cuadrados.
def suma_de_cuadrados (x : α) :=
  ∃ a b, x = a^2 + b^2

example
  (hx : suma_de_cuadrados x)
  (hy : suma_de_cuadrados y)
  : suma_de_cuadrados (x * y) :=
by sorry

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