El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 que existe un \(k ∈ ℕ\) tal que, para todo \(n \in ℕ\), \((n + k)^{2} ≤ 2^{n+k}\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Tactic

example : ∃ k : ℕ, ∀ n : ℕ, (n + k) ^ 2 ≤ 2 ^ (n + k) :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4, para todo \(n \in ℕ\), \(2n + 9 ≤ 2^{n+4}\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Tactic

variable (n : ℕ)

example : 2 * n + 9 ≤ 2 ^ (n + 4) :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 la desigualdad triangular inversa; es decir, que para cualesquiera números reales \(x\) e \(y\), se cumple la siguiente relación: \[ ||x| - |y|| ≤ |x - y| \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (x y : ℝ)

example : |(|x| - |y|)| ≤ |x - y| :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 que si las sucesiones \(a_n\) y \(b_n\) convergen a \(L\) y \(M\), respectivamente, con \(L < M\), entonces eventualmente \(a_n < b_n\); es decir, que existe un \(k ∈ \mathbb{N}\) tal que, para todo \(n ≥ k\), \(a_n < b_n\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a b : ℕ → ℝ}
variable {L M : ℝ}

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hb : SeqLim b M)
  (hLM : L < M)
  : ∃ k, ∀ n ≥ k, a n < b n :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 que si la sucesión \(a_n\) converge a \(L\), entonces \(|a_n|\) converge a \(|L|\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a b : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hb : ∀ n, b n = |a n|)
  : SeqLim b |L| :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 que si una sucesión converge a un límite no nulo, entonces sus términos están eventualmente acotados inferiormente por la mitad del valor absoluto del límite; es decir, si una sucesión \(a_n\) converge a \(L\) con \(L ≠ 0\), entonces existe \(k\) tal que para todo \(n ≥ k\) se tiene que \(|aₙ| ≥ \dfrac{|L|}{2}\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hL : L ≠ 0)
  : ∃ k, ∀ n ≥ k, |a n| ≥ |L| / 2 :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 que si una sucesión \(aₙ\) converge tanto a \(L\) como a \(M\), entonces \(L = M\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a : ℕ → ℝ}
variable {L M : ℝ}

example
  (hL : SeqLim a L)
  (hM : SeqLim a M)
  : L = M :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 que que una sucesión que posee infinitos términos con valor absoluto superior a 10 no puede converger a un límite cuyo valor absoluto sea menor que 5.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ k : ℕ, ∀ n ≥ k, |a n - L| < ε

variable {a : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

example
  (ha : ∀ k, ∃ n ≥ k, |a n| > 10)
  : ¬ ∃ L, SeqLim a L ∧ |L| < 5 :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 que la composición de funciones inyectivas es inyectiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Tactic

open Function

variable {α : Type _} {β : Type _} {γ : Type _}
variable {f : α → β} {g : β → γ}

example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
by sorry

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El reto de esta semana consiste en demostrar en Lean 4 el teorema del emparedado; es decir que si aₙ y cₙ convergen a L y aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ para todo n, entonces bₙ converge a L.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {a b c : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hc : SeqLim c L)
  (hab : ∀ n, a n ≤ b n)
  (hbc : ∀ n, b n ≤ c n)
  : SeqLim b L := by
  sorry

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