Calculemus (Publicaciones sobre Conjuntos)

Unión con intersección general

José A. Alonso — Mon, 11 Mar 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \[ s ∪ (⋂_i A_i) = ⋂_i (A_i ∪ s) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Tactic
open Set
variable {α : Type}
variable (s : Set α)
variable (A : ℕ → Set α)

example : s ∪ (⋂ i, A i) = ⋂ i, (A i ∪ s) :=
by sorry

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Intersección de intersecciones

José A. Alonso — Fri, 08 Mar 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \[ ⋂_i (A_i ∩ B_i) = (⋂_i A_i) ∩ (⋂_i B_i) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Tactic

open Set

variable {α : Type}
variable (A B : ℕ → Set α)

example : (⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) :=
by sorry

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Distributiva de la intersección respecto de la unión general

José A. Alonso — Thu, 07 Mar 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \[ s ∩ ⋃_i A_i = ⋃_i (A_i ∩ s) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Data.Set.Lattice
import Mathlib.Tactic

open Set

variable {α : Type}
variable (s : Set α)
variable (A : ℕ → Set α)

example : s ∩ (⋃ i, A i) = ⋃ i, (A i ∩ s) :=
by sorry

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Los primos mayores que 2 son impares

José A. Alonso — Wed, 06 Mar 2024 04:00:00 GMT

Los números primos, los mayores que 2 y los impares se definen en Lean4 por

   def Primos      : Set ℕ := {n | Nat.Prime n}
   def MayoresQue2 : Set ℕ := {n | n > 2}
   def Impares     : Set ℕ := {n | ¬Even n}

Demostrar con Lean4 que

   Primos ∩ MayoresQue2 ⊆ Impares

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Parity
import Mathlib.Tactic

open Nat

def Primos      : Set ℕ := {n | Nat.Prime n}
def MayoresQue2 : Set ℕ := {n | n > 2}
def Impares     : Set ℕ := {n | ¬Even n}

example : Primos ∩ MayoresQue2 ⊆ Impares :=
by sorry

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La unión de los pares e impares es el conjunto de los naturales

José A. Alonso — Tue, 05 Mar 2024 04:00:00 GMT

Los conjuntos de los números naturales, de los pares y de los impares se definen en Lean4 por

   def Naturales : Set ℕ := {n | True}
   def Pares     : Set ℕ := {n | Even n}
   def Impares   : Set ℕ := {n | ¬Even n}

Demostrar con Lean4 que

   Pares ∪ Impares = Naturales

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Parity

def Naturales : Set ℕ := {n | True}
def Pares     : Set ℕ := {n | Even n}
def Impares   : Set ℕ := {n | ¬Even n}

example : Pares ∪ Impares = Naturales :=
by sorry

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Diferencia de unión e intersección

José A. Alonso — Mon, 04 Mar 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \[ (s \setminus t) ∪ (t \setminus s) = (s ∪ t) \setminus (s ∩ t) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Tactic

open Set

variable {α : Type}
variable (s t : Set α)

example : (s \\ t) ∪ (t \\ s) = (s ∪ t) \\ (s ∩ t) :=
by sorry

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Unión con su diferencia

José A. Alonso — Fri, 01 Mar 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \[ (s \setminus t) ∪ t = s ∪ t \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
open Set

variable {α : Type}
variable (s t : Set α)

example : (s \\setminus t) ∪ t = s ∪ t :=
by sorry

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Unión con su intersección

José A. Alonso — Thu, 29 Feb 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \[ s ∪ (s ∩ t) = s \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
open Set
variable {α : Type}
variable (s t : Set α)

example : s ∪ (s ∩ t) = s :=
by sorry

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Conmutatividad de la intersección

José A. Alonso — Tue, 27 Feb 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \[ s ∩ t = t ∩ s \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
open Set
variable {α : Type}
variable (s t : Set α)

example : s ∩ t = t ∩ s :=
by sorry

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Diferencia de diferencia de conjuntos (2)

José A. Alonso — Mon, 26 Feb 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \[ s \setminus (t ∪ u) ⊆ (s \setminus t) \setminus u \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
open Set
variable {α : Type}
variable (s t u : Set α)

example : s \ (t ∪ u) ⊆ (s \ t) \ u :=
by sorry

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