Calculemus (Publicaciones sobre Funciones reales)

Si `f(x) ≤ f(y) → x ≤ y`, entonces f es inyectiva

José A. Alonso — Thu, 23 May 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(f\) una función de \(ℝ\) en \(ℝ\) tal que \[ (∀ x, y)[f(x) ≤ f(y) → x ≤ y] \] entonces \(f\) es inyectiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Function

variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (h : ∀ {x y}, f x ≤ f y → x ≤ y)
  : Injective f :=
by sorry

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Si una función es creciente e involutiva, entonces es la identidad

José A. Alonso — Wed, 22 May 2024 04:00:00 GMT

Sea una función \(f\) de \(ℝ\) en \(ℝ\).

Se dice que \(f\) es creciente si para todo \(x\) e \(y\) tales que \(x ≤ y\) se tiene que \(f(x) ≤ f(y)\).
Se dice que \(f\) es involutiva si para todo \(x\) se tiene que \(f(f(x)) = x\).

En Lean4 que \(f\) sea creciente se representa por Monotone f y que sea involutiva por Involutive f

Demostrar con Lean4 que si \(f\) es creciente e involutiva, entonces \(f\) es la identidad.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Function

variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (hc : Monotone f)
  (hi : Involutive f)
  : f = id :=
by sorry

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La composición de una función creciente y una decreciente es decreciente

José A. Alonso — Tue, 21 May 2024 04:00:00 GMT

Sea una función \(f\) de \(ℝ\) en \(ℝ\). Se dice que \(f\) es creciente si para todo \(x\) e \(y\) tales que \(x ≤ y\) se tiene que \(f(x) ≤ f(y)\). Se dice que \(f\) es decreciente si para todo \(x\) e \(y\) tales que \(x ≤ y\) se tiene que \(f(x) ≥ f(y)\).

Demostrar con Lean4 que si \(f\) es creciente y \(g\) es decreciente, entonces \(g ∘ f\) es decreciente.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (f g : ℝ → ℝ)

def creciente (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ {x y}, x ≤ y → f x ≤ f y

def decreciente (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ {x y}, x ≤ y → f x ≥ f y

example
  (hf : creciente f)
  (hg : decreciente g)
  : decreciente (g ∘ f) :=
by sorry

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La función x ↦ -x no es monótona creciente

José A. Alonso — Tue, 02 Jan 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que la función \(x ↦ -x\) no es monótona creciente.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

example : ¬Monotone fun x : ℝ ↦ -x :=
by sorry

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La función real f no es monótona syss existen x, y tales que x ≤ y y f(x) > f(y)

José A. Alonso — Mon, 01 Jan 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que \(f: ℝ → ℝ\) no es monótona syss \((∃x,y)[x ≤ y ∧ f(x) > f(y)]\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable {f : ℝ → ℝ}

example :
  ¬Monotone f ↔ ∃ x y, x ≤ y ∧ f x > f y :=
sorry

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Si f no es monótona, entonces ∃x∃y[x ≤ y ∧ f(y) < f(x)]

José A. Alonso — Thu, 07 Dec 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(f\) no es monótona, entonces ()∃x∃y[x ≤ y ∧ f(y) < f(x)]\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (h : ¬Monotone f)
  : ∃ x y, x ≤ y ∧ f y < f x :=
by sorry

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Si ¬(∀a)(∃x)[f(x) > a], entonces f está acotada superiormente

José A. Alonso — Wed, 06 Dec 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(¬(∀a)(∃x)[f(x) > a]\), entonces \(f\) está acotada superiormente.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x ≤ a

def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) :=
  ∃ a, CotaSuperior f a

variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (h : ¬∀ a, ∃ x, f x > a)
  : acotadaSup f :=
by sorry

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Si f no está acotada superiormente, entonces (∀a)(∃x)[f(x) > a]

José A. Alonso — Tue, 05 Dec 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(f\) no está acotada superiormente, entonces \((∀a)(∃x)[f(x) > a]\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x ≤ a

def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) :=
  ∃ a, CotaSuperior f a

variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (h : ¬acotadaSup f)
  : ∀ a, ∃ x, f x > a :=
by sorry

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No para toda f monótona, (∀a,b)[f(a) ≤ f(b) → a ≤ b]

José A. Alonso — Thu, 23 Nov 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que no para toda \(f : ℝ → ℝ\) monótona, \((∀a,b)[f(a) ≤ f(b) → a ≤ b]\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

example :
  ¬∀ {f : ℝ → ℝ}, Monotone f → ∀ {a b}, f a ≤ f b → a ≤ b :=
by sorry

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Si a, b ∈ ℝ tales que a ≤ b y f(b) < f(a), entonces f no es monótona

José A. Alonso — Wed, 22 Nov 2023 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(a, b ∈ ℝ\) tales que \(a ≤ b\) y \(f(b) < f(a)\), entonces \(f\) no es monótona

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f : ℝ → ℝ)
variable (a b : ℝ)

example
  (h1 : a ≤ b)
  (h2 : f b < f a)
  : ¬ Monotone f :=
by sorry

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Calculemus (Publicaciones sobre Funciones reales)

Si `f(x) ≤ f(y) → x ≤ y`, entonces f es inyectiva

Si una función es creciente e involutiva, entonces es la identidad

La composición de una función creciente y una decreciente es decreciente

La función x ↦ -x no es monótona creciente

La función real f no es monótona syss existen x, y tales que x ≤ y y f(x) > f(y)

Si f no es monótona, entonces ∃x∃y[x ≤ y ∧ f(y) < f(x)]

Si ¬(∀a)(∃x)[f(x) > a]​, entonces f está acotada superiormente

Si f no está acotada superiormente, entonces (∀a)(∃x)[f(x) > a]

No para toda f monótona, (∀a,b)[f(a) ≤ f(b) → a ≤ b]

Si a, b ∈ ℝ tales que a ≤ b y f(b) < f(a), entonces f no es monótona

Si ¬(∀a)(∃x)[f(x) > a], entonces f está acotada superiormente