Calculemus (Publicaciones sobre Límites)

Si a converge a L, entonces (∃ N)(∀ n ≥ N)[aₙ ≥ L - 1]

José A. Alonso — Wed, 03 Jun 2026 04:00:00 GMT

Demostrar que si la sucesión \(a\) converge a \(L\), entonces \[ (∃ N)(∀ n ≥ N)[aₙ ≥ L - 1] \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {a : ℕ → ℝ}
variable {L : ℝ}

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

example
  (ha : SeqLim a L) :
  ∃ N, ∀ n ≥ N, a n ≥ L - 1 :=
by
  sorry

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Si aₙ converge a L y bₙ a M, entonces aₙ+bₙ converge a L+M.

José A. Alonso — Mon, 01 Jun 2026 04:00:00 GMT

Demostrar que si \(aₙ\) converge a \(L\) y \(bₙ\) a \(M\), entonces \(aₙ+bₙ\) converge a \(L+M\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {a b c : ℕ → ℝ}
variable {L M : ℝ}

def SeqLim (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

example
  (ha : SeqLim a L)
  (hb : SeqLim b M)
  : SeqLim (a + b) (L + M) :=
by
  sorry

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La sucesión constante aₙ = L converge a L

José A. Alonso — Tue, 23 Dec 2025 04:00:00 GMT

En Lean, una sucesión \(a₀, a₁, a₂, ...\) se puede representar mediante una función \((a : ℕ → ℝ)\) de forma que \(a(n)\) es \(aₙ\).

Se define que \(L\) es el límite de la sucesión \(a\), por

def LimSuc (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

Demostrar que si para todo \(n\), \(aₙ = L\), entonces la sucesión \(a\) converge a \(L\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable (a : ℕ → ℝ)
variable (L : ℝ)

def LimSuc (a : ℕ → ℝ) (L : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N : ℕ, ∀ n ≥ N, |a n - L| < ε

example
  (h : ∀ n, a n = L)
  : LimSuc a L :=
by sorry

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Si u es una sucesión no decreciente y su límite es a, entonces u(n) ≤ a para todo n

José A. Alonso — Sat, 27 Jul 2024 04:00:00 GMT

En Lean4, una sucesión \(u_0, u_1, u_2, ...\) se puede representar mediante una función \(u : ℕ → ℝ\) de forma que \(u(n)\) es \(u_n\).

En Lean4, se define que \(a\) es el límite de la sucesión \(u\), por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε

y que la sucesión \(u\) es no decreciente por

   def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m

Demostrar con Lean4 que si \(u\) es una sucesión no decreciente y su límite es \(a\), entonces \(u(n) ≤ a\) para todo \(n\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {u : ℕ → ℝ}
variable (a : ℝ)

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε

def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m

example
  (h : limite u a)
  (h' : no_decreciente u)
  : ∀ n, u n ≤ a :=
by sorry

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Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos

José A. Alonso — Fri, 26 Jul 2024 04:00:00 GMT

En Lean4, una sucesión \(u_0, u_1, u_2, ...\) se puede representar mediante una función \(u : ℕ → ℝ\) de forma que \(u(n)\) es \(uₙ\).

Se define que \(a\) es el límite de la sucesión \(u\), por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε

La sucesión \(u\) diverge positivamente cuando, para cada número real \(A\), se puede encontrar un número natural \(m\) tal que si \(n ≥ m\), entonces \(uₙ > A\). En Lean se puede definir por

   def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A

Demostrar que si \(u\) diverge positivamente, entonces ningún número real es límite de \(u\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {u : ℕ → ℝ}

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε

def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A

example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
by sorry

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Si a es un punto de acumulación de la sucesión de Cauchy u, entonces a es el límite de u

José A. Alonso — Thu, 25 Jul 2024 04:00:00 GMT

En Lean4, una sucesión \(u_0, u_1, u_2, u_3 ...\) se puede representar mediante una función \(u : ℕ → ℝ\) de forma que \(u(n)\) es el término \(u_n\).

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \(u_0, u_2, u_4, u_6, ...\) se ha obtenido con la función de extracción \(f\) tal que \(f(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(f\) es una función de extracción por

   def extraccion (f : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → f n < f m

que a es un límite de u por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

que a es un punto de acumulación de u por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ f, extraccion f ∧ limite (u ∘ f) a

que la sucesión u es de Cauchy por

   def suc_cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε

Demostrar con Lean4 que si \(u\) es una sucesión de Cauchy y \(a\) es un punto de acumulación de \(u\), entonces \(a\) es el límite de \(u\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

open Nat

variable {u : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}

example
  (hu : suc_cauchy u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
by sorry

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El punto de acumulación de las sucesiones convergente es su límite

José A. Alonso — Tue, 16 Jul 2024 04:00:00 GMT

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_2, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(f\) tal que \(f(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(f\) es una función de extracción por

   def extraccion (f : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → f n < f m

que \(a\) es un límite de \(u\) por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

que \(u\) es convergente por

   def convergente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∃ a, limite u a

que \(a\) es un punto de acumulación de \(u\) por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ f, extraccion f ∧ limite (u ∘ f) a

Demostrar con Lean4 que si \(u\) es una sucesión convergente y \(a\) es un punto de acumulación de \(u\), entonces \(a\) es un límite de \(u\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

open Nat

variable {u : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}

def extraccion (f : ℕ → ℕ) :=
  ∀ n m, n < m → f n < f m

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

def convergente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ a, limite u a

def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ f, extraccion f ∧ limite (u ∘ f) a

example
  (hu : convergente u)
  (ha : punto_acumulacion u a)
  : limite u a :=
by sorry

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Las subsucesiones tienen el mismo límite que la sucesión

José A. Alonso — Mon, 15 Jul 2024 04:00:00 GMT

Para extraer una subsucesión se aplica una función de extracción que conserva el orden; por ejemplo, la subsucesión \[ u_0, u_3, u_4, u_6, ... \] se ha obtenido con la función de extracción \(φ\) tal que \(φ(n) = 2n\).

En Lean4, se puede definir que \(φ\) es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

que \(v\) es una subsucesión de \(u\) por

   def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ

y que \(a\) es un límite de \(u\) por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

Demostrar con Lean4 que las subsucesiones de una sucesión convergente tienen el mismo límite que la sucesión.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Nat

variable {u v : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}
variable {φ : ℕ → ℕ}

def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m

def subsucesion (v u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ v = u ∘ φ

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ k ≥ N, |u k - a| < ε

example
  (hv : subsucesion v u)
  (ha : limite u a)
  : limite v a :=
by sorry

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Si a es un punto de acumulación de u, entonces (∀ε>0)(∀n∈ℕ)(∃k≥n)[u(k)−a| < ε]

José A. Alonso — Sun, 14 Jul 2024 04:00:00 GMT

En Lean4, se puede definir que \(φ\) es una función de extracción por

   def extraccion (φ : ℕ → ℕ) :=
     ∀ n m, n < m → φ n < φ m

También se puede definir que \(a\) es un límite de \(u\) por

   def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ n, ∀ k ≥ n, |u k - a| < ε

Los puntos de acumulación de una sucesión son los límites de sus subsucesiones. En Lean4 se puede definir por

   def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
     ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

Demostrar que si \(a\) es un punto de acumulación de \(u\), entonces \[ (∀ ε > 0)(∀ n ∈ ℕ)(∃ k ≥ n)[|u(k) - a| < ε \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
open Nat

variable {u : ℕ → ℝ}
variable {a : ℝ}
variable {φ : ℕ → ℕ}

def extraccion (φ : ℕ → ℕ):=
  ∀ n m, n < m → φ n < φ m

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ n, ∀ k ≥ n, |u k - a| < ε

def punto_acumulacion (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∃ φ, extraccion φ ∧ limite (u ∘ φ) a

example
  (h : punto_acumulacion u a)
  : ∀ ε > 0, ∀ n, ∃ k ≥ n, |u k - a| < ε :=
by sorry

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Las sucesiones convergentes son sucesiones de Cauchy

José A. Alonso — Fri, 28 Jun 2024 04:00:00 GMT

En Lean4, una sucesión \(u_0, u_1, u_2, ...\) se puede representar mediante una función \(u : ℕ → ℝ\) de forma que \(u(n)\) es \(uₙ\).

Se define

\(a\) es un límite de la sucesión \(u\) , por

     def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
       ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| ≤ ε

la sucesión \(u\) es convergente por

     def suc_convergente (u : ℕ → ℝ) :=
       ∃ a, limite u a

la sucesión \(u\) es de Cauchy por

     def suc_Cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
       ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| ≤ ε

Demostrar con Lean4 que las sucesiones convergentes son de Cauchy.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {u : ℕ → ℝ }

def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε

def suc_convergente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∃ a, limite u a

def suc_Cauchy (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ p ≥ N, ∀ q ≥ N, |u p - u q| < ε

example
  (h : suc_convergente u)
  : suc_Cauchy u :=
by sorry

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