Calculemus (Publicaciones sobre Monoides)

Los monoides booleanos son conmutativos

José A. Alonso — Mon, 20 May 2024 04:00:00 GMT

Un monoide es un conjunto junto con una operación binaria que es asociativa y tiene elemento neutro.

Un monoide \(M\) es booleano si \[ (∀ x ∈ M)[x·x = 1] \] y es conmutativo si \[ (∀ x, y ∈ M)[x·y = y·x] \]

En Lean4, está definida la clase de los monoides (como Monoid) y sus propiedades características son

   mul_assoc : (a * b) * c = a * (b * c)
   one_mul :   1 * a = a
   mul_one :   a * 1 = a

Demostrar con Lean4 que los monoides booleanos son conmutativos.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {M : Type} [Monoid M]

example
  (h : ∀ x : M, x * x = 1)
  : ∀ x y : M, x * y = y * x :=
by sorry

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Si M es un monoide, a ∈ M y m, n ∈ ℕ, entonces a^(m·n) = (a^m)^n

José A. Alonso — Fri, 17 May 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(M\) es un monoide, \(a ∈ M\) y \(m, n ∈ ℕ\), entonces \[ a^{m·n} = (a^m)^n \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Defs
import Mathlib.Tactic

open Nat

variable {M : Type} [Monoid M]
variable (a : M)
variable (m n : ℕ)

example : a^(m * n) = (a^m)^n :=
by sorry

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Caracterización de producto igual al primer factor

José A. Alonso — Thu, 09 May 2024 04:00:00 GMT

Un monoide cancelativo por la izquierda es un monoide \(M\) que cumple la propiedad cancelativa por la izquierda; es decir, para todo \(a, b ∈ M\) \[ a·b = a·c ↔ b = c \]

En Lean4 la clase de los monoides cancelativos por la izquierda es LeftCancelMonoid y la propiedad cancelativa por la izquierda es

   mul_left_cancel : a * b = a * c → b = c

Demostrar con Lean4 que si \(M\) es un monoide cancelativo por la izquierda y \(a, b ∈ M\), entonces \[ a·b = a ↔ b = 1 \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {M : Type} [LeftCancelMonoid M]
variable {a b : M}

example : a * b = a ↔ b = 1 :=
by sorry

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Unicidad de inversos en monoides

José A. Alonso — Wed, 08 May 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(M\) es un monoide conmutativo y \(x, y, z ∈ M\) tales que \(x·y = 1\) y \(x·z = 1\), entonces \(y = z\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {M : Type} [CommMonoid M]
variable {x y z : M}

example
  (hy : x * y = 1)
  (hz : x * z = 1)
  : y = z :=
by sorry

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Equivalencia de inversos iguales al neutro

José A. Alonso — Tue, 07 May 2024 04:00:00 GMT

Sea \(M\) un monoide y \(a, b ∈ M\) tales que \(ab = 1\). Demostrar con Lean4 que \(a = 1\) si y sólo si \(b = 1\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {M : Type} [Monoid M]
variable {a b : M}

example
  (h : a * b = 1)
  : a = 1 ↔ b = 1 :=
by sorry

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Producto de potencias de la misma base en monoides

José A. Alonso — Mon, 06 May 2024 04:00:00 GMT

En los monoides se define la potencia con exponentes naturales. En Lean la potencia x^n se se caracteriza por los dos siguientes lemas:

   pow_zero : x^0 = 1
   pow_succ : x^(succ n) = x * x^n

Demostrar con Lean4 que si \(M\) es un monoide, \(x ∈ M\) y \(m, n ∈ ℕ\), entonces \[ x^{m + n} = x^m x^n \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Defs
import Mathlib.Tactic

open Nat

variable {M : Type} [Monoid M]
variable (x : M)
variable (m n : ℕ)

example :
  x^(m + n) = x^m * x^n :=
by sorry

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En los monoides, los inversos a la izquierda y a la derecha son iguales

José A. Alonso — Fri, 03 May 2024 04:00:00 GMT

Un monoide es un conjunto junto con una operación binaria que es asociativa y tiene elemento neutro.

En Lean4, está definida la clase de los monoides (como Monoid) y sus propiedades características son

   mul_assoc : (a * b) * c = a * (b * c)
   one_mul :   1 * a = a
   mul_one :   a * 1 = a

Demostrar que si \(M\) es un monoide, \(a ∈ M\), \(b\) es un inverso de \(a\) por la izquierda y \(c\) es un inverso de \(a\) por la derecha, entonces \(b = c\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Group.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {M : Type} [Monoid M]
variable {a b c : M}

example
  (hba : b * a = 1)
  (hac : a * c = 1)
  : b = c :=
by sorry

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