Calculemus (Publicaciones sobre Relaciones de equivalencia)

Las particiones definen relaciones de equivalencia

José A. Alonso — Tue, 09 Jul 2024 04:00:00 GMT

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean4 por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia \(P\) de subconjuntos de \(X\) es una partición de \(X\) si cada elemento de \(X\) pertenece a un único conjunto de \(P\) y todos los elementos de \(P\) son no vacíos. Se puede definir en Lean4 por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una partición de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es una relación de equivalencia.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : Equivalence (relacion P) :=
by sorry

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Las particiones definen relaciones transitivas

José A. Alonso — Mon, 08 Jul 2024 04:00:00 GMT

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean4 por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una partición de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es transitiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : Transitive (relacion P) :=
by sorry

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Las familias de conjuntos definen relaciones simétricas

José A. Alonso — Fri, 05 Jul 2024 04:00:00 GMT

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean4 por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una familia de subconjuntos de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es simétrica.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

-- 1ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, h1⟩
  -- A : Set X
  -- h1 : A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A
  have h2 : A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A := by tauto
  exact ⟨A, h2⟩

-- 2ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  unfold Symmetric
  -- ⊢ ∀ ⦃x y : X⦄, relacion P x y → relacion P y x
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  unfold relacion at *
  -- hxy : ∃ A, A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A
  -- ⊢ ∃ A, A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  use A

-- 3ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  use A

-- 4ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  exact ⟨A, ⟨hAP, hyA, hxA⟩⟩

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Las particiones definen relaciones reflexivas

José A. Alonso — Thu, 04 Jul 2024 04:00:00 GMT

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de \(X\) es una partición de \(X\) si cada elemento de \(X\) pertenece a un único conjunto de \(P\) y todos los elementos de \(P\) son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una partición de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es reflexiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : Reflexive (relacion P) :=
by sorry

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El conjunto de las clases de equivalencia es una partición

José A. Alonso — Wed, 03 Jul 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que si \(R\) es una relación de equivalencia en \(X\), entonces las clases de equivalencia de \(R\) es una partición de \(X\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable {x y: X}
variable {R : X → X → Prop}

def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}

def particion (P : Set (Set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

lemma aux
  (h : Equivalence R)
  (hxy : R x y)
  : clase R y ⊆ clase R x :=
fun _ hz ↦ h.3 hxy hz

example
  (h : Equivalence R)
  : particion {a : Set X | ∃ s : X, a = clase R s} :=
by sorry

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Las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas

José A. Alonso — Tue, 02 Jul 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable {x y: X}
variable {R : X → X → Prop}

def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}

example
  (h : Equivalence R)
  (hxy : ¬ R x y)
  : clase R x ∩ clase R y = ∅ :=
by sorry

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Las clases de equivalencia de elementos relacionados son iguales

José A. Alonso — Mon, 01 Jul 2024 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 que las clases de equivalencia de elementos relacionados son iguales.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable {x y: X}
variable {R : X → X → Prop}

def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}

example
  (h : Equivalence R)
  (hxy : R x y)
  : clase R x = clase R y :=
by sorry

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La igualdad de valores es una relación de equivalencia

José A. Alonso — Wed, 26 Jun 2024 04:00:00 GMT

Sean \(X\) e \(Y\) dos conjuntos y \(f\) una función de \(X\) en \(Y\). Se define la relación \(\text{R}\) en \(X\) de forma que \(x\) está relacionado con \(y\) si \(f(x) = f(y)\).

Demostrar con Lean4 que \(\text{R}\) es una relación de equivalencia.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X Y : Type _}
variable (f : X → Y)

def R (x y : X) :=
  f x = f y

example : Equivalence (R f) :=
by sorry

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La equipotencia es una relación de equivalencia

José A. Alonso — Tue, 25 Jun 2024 04:00:00 GMT

Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son equipotentes (y se denota por \(A ≃ B\)) si existe una aplicación biyectiva entre ellos. La equipotencia se puede definir en Lean4 por

   def es_equipotente (A B : Type _) : Prop :=
     ∃ g : A → B, Bijective g

   local infixr:50 " ⋍ " => es_equipotente

Demostrar con Lean4 que la relación de equipotencia es simétrica.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
open Function

def es_equipotente (A B : Type _) :=
  ∃ g : A → B, Bijective g

local infixr:50 " ⋍ " => es_equipotente

variable {X Y : Type _}
variable {f : X → Y}
variable {g : Y → X}

def inversa (f : X → Y) (g : Y → X) :=
  (∀ x, (g ∘ f) x = x) ∧ (∀ y, (f ∘ g) y = y)

def tiene_inversa (f : X → Y) :=
  ∃ g, inversa g f

lemma aux1
  (hf : Bijective f)
  : tiene_inversa f :=
by
  cases' (bijective_iff_has_inverse.mp hf) with g hg
  -- g : Y → X
  -- hg : LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
  aesop (add norm unfold [tiene_inversa, inversa])

lemma aux2
  (hg : inversa g f)
  : Bijective g :=
by
  apply bijective_iff_has_inverse.mpr
  -- ⊢ ∃ g_1, LeftInverse g_1 g ∧ Function.RightInverse g_1 g
  exact ⟨f, hg⟩

example : Equivalence (. ⋍ .) :=
by sorry

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