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En ℝ, (ab)c = b(ac)

Demostrar con Lean4 que los números reales tienen la siguiente propiedad \[ (ab)c = b(ac) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Real.Basic

example (a b c : ℝ) : (a * b) * c = b * (a * c) := by
sorry

Demostración en lenguaje natural

Por la siguiente cadena de igualdades \begin{align} (ab)c &= (ba)c &&\text{[por la conmutativa]} \newline &= b(ac) &&\text{[por la asociativa]} \end{align}

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Real.Basic

-- 1ª demostración
example
  (a b c : ℝ)
  : (a * b) * c = b * (a * c) :=
calc
  (a * b) * c = (b * a) * c := by rw [mul_comm a b]
            _ = b * (a * c) := by rw [mul_assoc b a c]

-- 2ª demostración
example (a b c : ℝ) : (a * b) * c = b * (a * c) := by
  rw [mul_comm a b]
  rw [mul_assoc b a c]

-- 3ª demostración
example (a b c : ℝ) : (a * b) * c = b * (a * c) :=
by ring

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias