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En ℝ, a(bc) = b(ac)

Demostrar con Lean4 que en ℝ, \[ a(bc) = b(ac) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Real.Basic

example
  (a b c : ℝ) : a * (b * c) = b * (a * c) :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Por la siguiente cadena de igualdades: \begin{align} a(bc) &= (ab)c &&\text{[por la asociativa]} \newline &= (ba)c &&\text{[por la conmutativa]} \newline &= b(ac) &&\text{[por la asociativa]} \end{align}

Demostraciones con Lean

import Mathlib.Tactic
import Mathlib.Data.Real.Basic

-- 1ª demostración
example
  (a b c : ℝ) : a * (b * c) = b * (a * c) :=
calc
  a * (b * c)
    = (a * b) * c := by rw [←mul_assoc]
  _ = (b * a) * c := by rw [mul_comm a b]
  _ = b * (a * c) := by rw [mul_assoc]

-- 1ª demostración
example
  (a b c : ℝ) : a * (b * c) = b * (a * c) :=
by
  rw [←mul_assoc]
  rw [mul_comm a b]
  rw [mul_assoc]

-- 3ª demostración
example
  (a b c : ℝ) : a * (b * c) = b * (a * c) :=
by ring

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias