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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0.a = 0

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a ∈ R, entonces \[ 0·a = 0 \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : 0 * a = 0 :=
sorry

Demostración en lenguaje natural

Basta aplicar la propiedad cancelativa a \[0.a + 0.a = 0.a + 0\] que se demuestra mediante la siguiente cadena de igualdades \begin{align} 0.a + 0.a &= (0 + 0).a &&\text{[por la distributiva]} \\ &= 0.a &&\text{[por suma con cero]} \\ &= 0.a + 0 &&\text{[por suma con cero]} \end{align}

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

-- 1ª demostración
example : 0 * a = 0 :=
by
  have h : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0 :=
    calc 0 * a + 0 * a = (0 + 0) * a := by rw [add_mul]
                     _ = 0 * a       := by rw [add_zero]
                     _ = 0 * a + 0   := by rw [add_zero]
  rw [add_left_cancel h]

-- 2ª demostración
example : 0 * a = 0 :=
by
  have h : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0 :=
    by rw [←add_mul, add_zero, add_zero]
  rw [add_left_cancel h]

-- 3ª demostración
example : 0 * a = 0 :=
by
  have : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0 :=
    calc 0 * a + 0 * a = (0 + 0) * a := by simp
                     _ = 0 * a       := by simp
                     _ = 0 * a + 0   := by simp
  simp

-- 4ª demostración
example : 0 * a = 0 :=
by
  have : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0 := by simp
  simp

-- 5ª demostración
example : 0 * a = 0 :=
by simp

-- 6ª demostración
example : 0 * a = 0 :=
zero_mul a

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias