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Si R es un anillo y a ∈ R, entonces a - a = 0

Demostrar con Lean4 que si \(R\) es un anillo y \(a \in R\), entonces \[a - a = 0\]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

example : a - a = 0 :=
sorry

Demostración en lenguaje natural

Por la siguiente cadena de igualdades: \begin{align} a - a &= a + -a &&\text{[por definición de resta]} \\ &= 0 &&\text{[por suma con opuesto]} \end{align}

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Algebra.Group.Basic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable (a : R)

-- 1ª demostración
example : a - a = 0 :=
calc
  a - a = a + -a := by rw [sub_eq_add_neg a a]
      _ = 0      := by rw [add_neg_cancel]

-- 2ª demostración
example : a - a = 0 :=
sub_self a

-- 3ª demostración
example : a - a = 0 :=
by simp

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (add_neg_cancel a : a + -a = 0)
-- #check (sub_eq_add_neg a b : a - b = a + -b)
-- #check (sub_self a : a - a = 0)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias