En ℝ, si a ≤ b entonces c - e^b ≤ c - e^a
Sean a, b y c números reales. Demostrar con Lean4 que si a≤b, entonces c−eb≤c−ea
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Basic open Real variable (a b c : ℝ) example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := by sorry
Demostración en lenguaje natural
Aplicando la monotonía de la exponencial a la hipótesis, se tiene ea≤eb y, restando de c, se invierte la desigualdad c−eb≤c−ea
Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Basic open Real variable (a b c : ℝ) -- 1ª demostración example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := by have h1 : exp a ≤ exp b := exp_le_exp.mpr h show c - exp b ≤ c - exp a exact sub_le_sub_left h1 c -- 2ª demostración example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := by apply sub_le_sub_left _ c apply exp_le_exp.mpr h -- 3ª demostración example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := sub_le_sub_left (exp_le_exp.mpr h) c -- 4ª demostración example (h : a ≤ b) : c - exp b ≤ c - exp a := by linarith [exp_le_exp.mpr h]
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 16.