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En los retículos, x ⊓ (x ⊔ y) = x

Demostrar con Lean4 que en los retículos se verifica que \[ x ⊓ (x ⊔ y) = x \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Order.Lattice
variable {α : Type _} [Lattice α]
variable (x y : α)

example : x ⊓ (x ⊔ y) = x :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

En la demostración se usarán los siguientes lemas \begin{align} &x ≤ y → y ≤ x → x = y \tag{L1} \\ &x ⊓ y ≤ x \tag{L2} \\ &z ≤ x → z ≤ y → z ≤ x ⊓ y \tag{L3} \\ &x ≤ x \tag{L4} \\ &x ≤ x ⊔ y \tag{L5} \\ \end{align}

Por L1, basta demostrar las siguientes relaciones: \begin{align} x ⊓ (x ⊔ y) &≤ x \tag{1} \\ x &≤ x ⊓ (x ⊔ y) \tag{2} \end{align}

La (1) se tiene por L2.

Para demostrar la (2), por L3, basta probar las relaciones: \begin{align} x &≤ x \tag{2a} \\ x &≤ x ⊔ y \tag{2b} \end{align}

La (2a) se tiene por L4.

La (2b) se tiene por L5

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Order.Lattice

variable {α : Type _} [Lattice α]
variable (x y : α)

-- 1ª demostración
-- ===============

example : x ⊓ (x ⊔ y) = x :=
by
  have h1 : x ⊓ (x ⊔ y) ≤ x := inf_le_left
  have h2 : x ≤ x ⊓ (x ⊔ y) := by
  { have h2a : x ≤ x := le_rfl
    have h2b : x ≤ x ⊔ y := le_sup_left
    show x ≤ x ⊓ (x ⊔ y)
    exact le_inf h2a h2b  }
  show x ⊓ (x ⊔ y) = x
  exact le_antisymm h1 h2

-- 2ª demostración
-- ===============

example : x ⊓ (x ⊔ y) = x :=
by
  have h1 : x ⊓ (x ⊔ y) ≤ x := by simp
  have h2 : x ≤ x ⊓ (x ⊔ y) := by simp
  show x ⊓ (x ⊔ y) = x
  exact le_antisymm h1 h2

-- 3ª demostración
-- ===============

example : x ⊓ (x ⊔ y) = x :=
by
  apply le_antisymm
  . -- x ⊓ (x ⊔ y) ≤ x
    apply inf_le_left
  . -- x ≤ x ⊓ (x ⊔ y)
    apply le_inf
    . -- x ≤ x
      apply le_rfl
    . -- x ≤ x ⊔ y
      apply le_sup_left

-- 4ª demostración
-- ===============

example : x ⊓ (x ⊔ y) = x :=
le_antisymm inf_le_left (le_inf le_rfl le_sup_left)

-- 5ª demostración
-- ===============

example : x ⊓ (x ⊔ y) = x :=
-- by apply?
inf_sup_self

-- 6ª demostración
-- ===============

example : x ⊓ (x ⊔ y) = x :=
by simp

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (z : α)
-- #check (inf_le_left : x ⊓ y ≤ x)
-- #check (inf_sup_self : x ⊓ (x ⊔ y) = x)
-- #check (le_antisymm : x ≤ y → y ≤ x → x = y)
-- #check (le_inf : z ≤ x → z ≤ y → z ≤ x ⊓ y)
-- #check (le_rfl : x ≤ x)
-- #check (le_sup_left : x ≤ x ⊔ y)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias