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En los anillos ordenados, 0 ≤ b - a → a ≤ b

Demostrar con Lean4 que en los anillos ordenados \[ 0 ≤ b - a → a ≤ b \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Order.Ring.Defs
variable {R : Type _} [StrictOrderedRing R]
variable (a b c : R)

example : 0 ≤ b - a → a ≤ b :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Se usarán los siguientes lemas: \begin{align} &0 + a = a \tag{L1} \\ &b ≤ c → (∀ a) [b + a ≤ c + a] \tag{L2} \\ &a - b + b = -a \tag{L3} \end{align} Supongamos que \[ 0 ≤ b - a \tag{1} \] La demostración se tiene por la siguiente cadena de desigualdades: \begin{align} a &= 0 + a &&\text{[por L1]} \\ &≤ (b - a) + a &&\text{[por (1) y L2]} \\ &= b &&\text{[por L3]} \end{align}

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Order.Ring.Defs
variable {R : Type _} [StrictOrderedRing R]
variable (a b c : R)

-- 1ª demostración
-- ===============

example : 0 ≤ b - a → a ≤ b :=
by
  intro h
  calc
    a = 0 + a       := (zero_add a).symm
    _ ≤ (b - a) + a := add_le_add_right h a
    _ = b           := sub_add_cancel b a

-- 2ª demostración
-- ===============

example : 0 ≤ b - a → a ≤ b :=
-- by apply?
sub_nonneg.mp

-- 3ª demostración
-- ===============

example : 0 ≤ b - a → a ≤ b :=
by simp

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (zero_add a : 0 + a = a)
-- #check (add_le_add_right : b ≤ c → ∀ (a : R),  b + a ≤ c + a)
-- #check (sub_add_cancel a b : a - b + b = a)
-- #check (sub_nonneg : 0 ≤ a - b ↔ b ≤ a)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias