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En los espacios métricos, d(x,y) ≥ 0

Demostrar con Lean4 que en los espacios métricos, \(d(x,y) ≥ 0\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Topology.MetricSpace.Basic
variable {X : Type _} [MetricSpace X]
variable (x y : X)

example : 0 ≤ d x y :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Se usarán los siguientes lemas: \begin{align} &0 ≤ ab → 0 < b → 0 ≤ a \tag{L1} \\ &d(x,x) = 0 \tag{L2} \\ &d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) \tag{L3} \\ &d(x,y) = d(y,x) \tag{L4} \\ &2a = a + a \tag{L5} \\ &0 < 2 \tag{L6} \\ \end{align}

Por L5 es suficiente demostrar las siguientes desigualdades: \begin{align} 0 &≤ 2d(x,y) \tag{1} \\ 0 &< 2 \tag{2} \end{align}

La (1) se demuestra por las siguiente cadena de desigualdades: \begin{align} 0 &= d(x,x) &&\text{[por L2]} \\ &≤ d(x,y) + d(y,x) &&\text{[por L3]} \\ &= d(x,y) + d(x,y) &&\text{[por L4]} \\ &= 2 d(x,y) &&\text{[por L5]} \end{align}

La (2) se tiene por L6.

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Topology.MetricSpace.Basic
variable {X : Type _} [MetricSpace X]
variable (x y : X)

-- 1ª demostración
example : 0 ≤ dist x y :=
by
  have h1 : 0 ≤ dist x y * 2 := calc
    0 = dist x x            := (dist_self x).symm
    _ ≤ dist x y + dist y x := dist_triangle x y x
    _ = dist x y + dist x y := by rw [dist_comm x y]
    _ = dist x y * 2        := (mul_two (dist x y)).symm
  show 0 ≤ dist x y
  exact nonneg_of_mul_nonneg_left h1 zero_lt_two

-- 2ª demostración
example : 0 ≤ dist x y :=
by
  apply nonneg_of_mul_nonneg_left
  . -- 0 ≤ dist x y * 2
    calc 0 = dist x x            := by simp only [dist_self]
         _ ≤ dist x y + dist y x := by simp only [dist_triangle]
         _ = dist x y + dist x y := by simp only [dist_comm]
         _ = dist x y * 2        := by simp only [mul_two]
  . -- 0 < 2
    exact zero_lt_two

-- 3ª demostración
example : 0 ≤ dist x y :=
by
  have : 0 ≤ dist x y + dist y x := by
    rw [← dist_self x]
    apply dist_triangle
  linarith [dist_comm x y]

-- 3ª demostración
example : 0 ≤ dist x y :=
-- by apply?
dist_nonneg

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (a b : ℝ)
-- variable (z : X)
-- #check (dist_comm x y : dist x y = dist y x)
-- #check (dist_nonneg : 0 ≤ dist x y)
-- #check (dist_self x : dist x x = 0)
-- #check (dist_triangle x y z : dist x z ≤ dist x y + dist y z)
-- #check (mul_two a : a * 2 = a + a)
-- #check (nonneg_of_mul_nonneg_left : 0 ≤ a * b → 0 < b → 0 ≤ a)
-- #check (zero_lt_two : 0 < 2)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias