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Para cualquier conjunto s, s ⊆ s

Demostrar con Lean4 que para cualquier conjunto \(s\), \(s ⊆ s\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {α : Type _}
variable (s : Set α)

example : s ⊆ s :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Tenemos que demostrar que \[ (∀ x) [x ∈ s → × ∈ s] \] Sea \(x\) tal que \[ x ∈ s \tag{1} \] Entonces, por (1), se tiene que \[ x ∈ s \] que es lo que teníamos que demostrar.

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic

variable {α : Type _}
variable (s : Set α)

-- 1ª demostración
example : s ⊆ s :=
by
  intro x xs
  exact xs

-- 2ª demostración
example : s ⊆ s :=
  fun (x : α) (xs : x ∈ s) ↦ xs

-- 3ª demostración
example : s ⊆ s :=
  fun _ xs ↦ xs

-- 4ª demostración
example : s ⊆ s :=
  -- by exact?
  rfl.subset

-- 5ª demostración
example : s ⊆ s :=
by rfl

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias