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Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t

Demostrar con Lean4 que si \(r ⊆ s\) y \(s ⊆ t\), entonces \(r ⊆ t\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

open Set

variable {α : Type _}
variable (r s t : Set α)

example
  (rs : r ⊆ s)
  (st : s ⊆ t)
  : r ⊆ t :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

1ª demostración en LN

Tenemos que demostrar que \[ (∀ x) [x ∈ r → x ∈ t] \] Sea \(x\) tal que \[ x ∈ r \] Puesto que \(r ⊆ s\), se tiene que \[ x ∈ s \] y, puesto que \(s ⊆ t), se tiene que \[ x ∈ t \] que es lo que teníamos que demostrar.

2ª demostración en LN

Tenemos que demostrar que \[ (∀ x) [x ∈ r → x ∈ t] \] Sea \(x\) tal que \[ x ∈ r \] Tenemos que demostrar que \[ x ∈ t \] que, puesto que \(s ⊆ t\), se reduce a \[ x ∈ s \] que, puesto que \(r ⊆ s\), se redece a \[ x ∈ r \] que es lo que hemos supuesto.

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic

open Set

variable {α : Type _}
variable (r s t : Set α)

-- 1ª demostración
example
  (rs : r ⊆ s)
  (st : s ⊆ t)
  : r ⊆ t :=
by
  intros x xr
  -- xr : x ∈ r
  have xs : x ∈ s := rs xr
  show x ∈ t
  exact st xs

-- 2ª demostración
example
  (rs : r ⊆ s)
  (st : s ⊆ t)
  : r ⊆ t :=
by
  intros x xr
  -- x : α
  -- xr : x ∈ r
  apply st
  -- ⊢ x ∈ s
  apply rs
  -- ⊢ x ∈ r
  exact xr

-- 3ª demostración
example
  (rs : r ⊆ s)
  (st : s ⊆ t)
  : r ⊆ t :=
fun _ xr ↦ st (rs xr)

-- 4ª demostración
example
  (rs : r ⊆ s)
  (st : s ⊆ t)
  : r ⊆ t :=
-- by exact?
Subset.trans rs st

-- 5ª demostración
example
  (rs : r ⊆ s)
  (st : s ⊆ t)
  : r ⊆ t :=
by tauto

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (Subset.trans : r ⊆ s → s ⊆ t → r ⊆ t)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias