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La composición de funciones inyectivas es inyectiva

Demostrar con Lean4 que la composición de funciones inyectivas es inyectiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

open Function

variable {α : Type _} {β : Type _} {γ : Type _}
variable {f : α → β} {g : β → γ}

example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
by sorry

Demostraciones en lenguaje natural (LN)

1ª demostración en LN

Tenemos que demostrar que \[ (∀ x, y) [(g ∘ f)(x) = (g ∘ f)(y) → x = y] \] Sean \(x, y\) tales que \[ (g ∘ f)(x) = (g ∘ f)(y) \] Entonces, por la definición de la composición, \[ g(f(x)) = g(f(y)) \] y, ser \(g\) inyectiva, \[ f(x) = f(y) \] y, ser \(f\) inyectiva, \[ x = y \]

2ª demostración en LN

Tenemos que demostrar que \[ (∀ x, y) [(g ∘ f)(x) = (g ∘ f)(y) → x = y] \] Sean \(x, y\) tales que \[ (g ∘ f)(x) = (g ∘ f)(y) \tag{1} \] y tenemos que demostrar que \[ x = y \tag{2} \] El objetivo (2), usando que \(f\) es inyectiva, se reduce a \[ f(x) = f(y) \] que, usando que \(g\) es inyectiva, se reduce a \[ g(f(x)) = g(f(y)) \] que, por la definición de la composición, coincide con (1).

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic

open Function

variable {α : Type _} {β : Type _} {γ : Type _}
variable {f : α → β} {g : β → γ}

-- 1ª demostración (basada en la 1ª en LN)
example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
by
  intro (x : α) (y : α) (h1: (g ∘ f) x = (g ∘ f) y)
  have h2: g (f x) = g (f y) := h1
  have h3: f x = f y := hg h2
  show x = y
  exact hf h3

-- 2ª demostración
example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
by
  intro (x : α) (y : α) (h1: (g ∘ f) x = (g ∘ f) y)
  have h2: f x = f y := hg h1
  show x = y
  exact hf h2

-- 3ª demostración
example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
by
  intro x y h
  exact hf (hg h)

-- 4ª demostración
example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
fun _ _ h ↦ hf (hg h)

-- 5ª demostración (basada en la 2ª en LN)
example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
by
  intros x y h
  -- x y : α
  -- h : (g ∘ f) x = (g ∘ f) y
  apply hf
  -- ⊢ f x = f y
  apply hg
  -- ⊢ g (f x) = g (f y)
  apply h

-- 6ª demostración
example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
-- by exact?
Injective.comp hg hf

-- 7ª demostración
example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
by tauto

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (Injective.comp : Injective g → Injective f → Injective (g ∘ f))

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias