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Si f es una función real suprayectiva, entonces existe x ∈ ℝ tal que f(x)² = 9

Demostrar con Lean4 que si \(f: ℝ → ℝ\) es suprayectiva, entonces \(∃x ∈ ℝ\) tal que \(f(x)² = 9\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

open Function

example
  {f : ℝ → ℝ}
  (h : Surjective f)
  : ∃ x, (f x)^2 = 9 :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Al ser \(f\) suprayectiva, existe un \(y\) tal que \(f(y) = 3\). Por tanto, \(f(y)² = 9\).

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

open Function

example
  {f : ℝ → ℝ}
  (h : Surjective f)
  : ∃ x, (f x)^2 = 9 :=
by
  cases' h 3 with y hy
  -- y : ℝ
  -- hy : f y = 3
  use y
  -- ⊢ f y ^ 2 = 9
  rw [hy]
  -- ⊢ 3 ^ 2 = 9
  norm_num

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias