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En ℝ, a < b → ¬(b < a)

Demostrar con Lean4 que en \(ℝ\), \(a < b → ¬(b < a)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (a b : ℝ)

example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Por hipótesis \(a < b\) y tenemos que demostrar que \(¬(b < a)\). Supongamos que \(b < a\). Entonces, por la propiedad transiva \(a < a\) que es una contradicción con la propiedad irreflexiva.

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (a b : ℝ)

-- 1ª demostración
example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
by
  intro h1
  -- h1 : b < a
  -- ⊢ False
  have : a < a := lt_trans h h1
  apply lt_irrefl a this

-- 2ª demostración
example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
by
  intro h1
  -- h1 : b < a
  -- ⊢ False
  exact lt_irrefl a (lt_trans h h1)

-- 3ª demostración
example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
fun h1 ↦ lt_irrefl a (lt_trans h h1)

-- 4ª demostración
example
  (h : a < b)
  : ¬ b < a :=
lt_asymm h

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (c : ℝ)
-- #check (lt_asymm : a < b → ¬b < a)
-- #check (lt_irrefl a : ¬a < a)
-- #check (lt_trans : a < b → b < c → a < c)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias