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Si para cada a existe un x tal que f(x) > a, entonces f no tiene cota superior

Demostrar con Lean4 que si \(f\) es una función de \(ℝ\) en \(ℝ\) tal que para cada \(a\) existe un \(x\) tal que \(f(x) > a\), entonces \(f\) no tiene cota superior.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x ≤ a

def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∃ a, CotaSuperior f a

variable (f : ℝ → ℝ)

example
  (h : ∀ a, ∃ x, f x > a)
  : ¬ acotadaSup f :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Supongamos que \(f\) tiene cota superior. Sea \(b\) una de dichas cotas superiores. Por la hipótesis, existe un \(x\) tal que \(f(x) > b\). Además, como \(b\) es una cota superior de \(f\), \(f(x) ≤ b\) que contradice la desigualdad anterior.

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

def CotaSuperior (f : ℝ → ℝ) (a : ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x ≤ a

def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∃ a, CotaSuperior f a

variable (f : ℝ → ℝ)

-- 1ª demostración
example
  (h : ∀ a, ∃ x, f x > a)
  : ¬ acotadaSup f :=
by
  intros hf
  -- hf : acotadaSup f
  -- ⊢ False
  cases' hf with b hb
  -- b : ℝ
  -- hb : CotaSuperior f b
  cases' h b with x hx
  -- x : ℝ
  -- hx : f x > b
  have : f x ≤ b := hb x
  linarith

-- 2ª demostración
theorem sinCotaSup
  (h : ∀ a, ∃ x, f x > a)
  : ¬ acotadaSup f :=
by
  intros hf
  -- hf : acotadaSup f
  -- ⊢ False
  rcases hf with ⟨b, hb : CotaSuperior f b⟩
  rcases h b with ⟨x, hx : f x > b⟩
  have : f x ≤ b := hb x
  linarith

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias