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Si a, b ∈ ℝ tales que a ≤ b y f(b) < f(a), entonces f no es monótona

Demostrar con Lean4 que si \(a, b ∈ ℝ\) tales que \(a ≤ b\) y \(f(b) < f(a)\), entonces \(f\) no es monótona

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f : ℝ → ℝ)
variable (a b : ℝ)

example
  (h1 : a ≤ b)
  (h2 : f b < f a)
  : ¬ Monotone f :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Usaremos el lema \[ a ≥ b → a ≮ b \tag{L1} \]

Lo demostraremos por reducción al absurdo. Para ello, supongamos que \(f\) es monótona. Entonces, como \(a ≤ b\), se tiene \(f(a) ≤ f(b)\) y, por el lema L1, \(f(b) ≮ f(a)\), en contradicción con la hipótesis.

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (f : ℝ → ℝ)
variable (a b : ℝ)

-- 1ª demostración
-- ===============

example
  (h1 : a ≤ b)
  (h2 : f b < f a)
  : ¬ Monotone f :=
by
  intro h3
  -- h3 : Monotone f
  -- ⊢ False
  have h4 : f a ≤ f b := h3 h1
  have h5 : ¬(f b < f a) := not_lt_of_ge h4
  exact h5 h2

-- 2ª demostración
-- ===============

example
  (h1 : a ≤ b)
  (h2 : f b < f a)
  : ¬ Monotone f :=
by
  intro h3
  -- h3 : Monotone f
  -- ⊢ False
  have h5 : ¬(f b < f a) := not_lt_of_ge (h3 h1)
  exact h5 h2

-- 3ª demostración
-- ===============

example
  (h1 : a ≤ b)
  (h2 : f b < f a)
  : ¬ Monotone f :=
by
  intro h3
  -- h3 : Monotone f
  -- ⊢ False
  exact (not_lt_of_ge (h3 h1)) h2

-- 4ª demostración
-- ===============

example
  (h1 : a ≤ b)
  (h2 : f b < f a)
  : ¬ Monotone f :=
fun h3 ↦ (not_lt_of_ge (h3 h1)) h2

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (not_lt_of_ge : a ≥ b → ¬a < b)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias