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Si ¬(∃x)P(x), entonces (∀x)¬P(x)

Demostrar con Lean4 que si \(¬(∃x)P(x)\), entonces \((∀x)¬P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Sea \(y\) un elemento cualquiera. Tenemos que demostrar \(¬P(y)\). Para ello, supongamos que \(P(y)\). Entonces, \((∃x)P(x)\) que es una contradicción con la hipótesis,

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic

variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

-- 1ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by
  intros y h1
  -- y : α
  -- h1 : P x
  -- ⊢ False
  apply h
  -- ⊢ ∃ x, P x
  existsi y
  -- ⊢ P y
  exact h1

-- 2ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by
  intros y h1
  -- y : α
  -- h1 : P x
  -- ⊢ False
  apply h
  -- ⊢ ∃ x, P x
  use y

-- 3ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by
  intros y h1
  -- y : α
  -- h1 : P x
  -- ⊢ False
  apply h
  -- ⊢ ∃ x, P x
  exact ⟨y, h1⟩

-- 4ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by
  intros y h1
  -- y : α
  -- h1 : P x
  -- ⊢ False
  exact h ⟨y, h1⟩

-- 5ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
fun y h1 ↦ h ⟨y, h1⟩

-- 6ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by
  push_neg at h
  exact h

-- 7ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
not_exists.mp h

-- 8ª demostración
-- ===============

example
  (h : ¬ ∃ x, P x)
  : ∀ x, ¬ P x :=
by aesop

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (not_exists : (¬∃ x, P x) ↔ ∀ (x : α), ¬P x)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias