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Si (∀x)¬P(x), entonces ¬(∃x)P(x).

Demostrar con Lean4 que si \((∀x)¬P(x)\), entonces \(¬(∃x)P(x)\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Supongamos que \((∃x)P(x)\). Sea \(y\) tal que \(P(y)\). Puesto que \((∀x)¬P)x)\), se tiene que \(¬P(y)\) que es una contradicción con \(P(y)\).

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _}
variable (P : α → Prop)

-- 1ª demostración
-- ===============

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
by
  intro h1
  -- h1 : ∃ x, P x
  -- ⊢ False
  rcases h1 with ⟨y, hy : P y⟩
  have h2 : ¬P y := h y
  exact h2 hy

-- 2ª demostración
-- ===============

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
by
  intro h1
  -- h1 : ∃ x, P x
  -- ⊢ False
  rcases h1 with ⟨y, hy : P y⟩
  exact (h y) hy

-- 3ª demostración
-- ===============

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
by
  rintro ⟨y, hy : P y⟩
  exact (h y) hy

-- 4ª demostración
-- ===============

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
fun ⟨y, hy⟩ ↦ (h y) hy

-- 5ª demostración
-- ===============

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
not_exists_of_forall_not h

-- 6ª demostración
-- ===============

example
  (h : ∀ x, ¬ P x)
  : ¬ ∃ x, P x :=
by aesop

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (q : Prop)
-- #check (not_exists_of_forall_not : (∀ x, P x → q) → (∃ x, P x) → q)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias