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En ℝ, si x < |y|, entonces x < y ó x < -y

Demostrar con Lean4 que en \(ℝ\), si \(x < |y|\), entonces \(x < y\) ó \(x < -y\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable {x y : ℝ}

example : x < |y| → x < y ∨ x < -y :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Se demostrará por casos según \(y ≥ 0\).

Primer caso: Supongamos que \(y ≥ 0\). Entonces, \(|y| = y\) y, por tanto, \(x < y\).

Segundo caso: Supongamos que \(y < 0\). Entonces, \(|y| = -y\) y, por tanto, \(x < -y\).

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable {x y : ℝ}

-- 1ª demostración
-- ===============

example : x < |y| → x < y ∨ x < -y :=
by
  intro h1
  -- h1 : x < |y|
  -- ⊢ x < y ∨ x < -y
  cases' le_or_gt 0 y with h2 h3
  . -- h2 : 0 ≤ y
    left
    -- ⊢ x < y
    rwa [abs_of_nonneg h2] at h1
  . -- h3 : 0 > y
    right
    -- ⊢ x < -y
    rwa [abs_of_neg h3] at h1

-- 2ª demostración
-- ===============

example : x < |y| → x < y ∨ x < -y :=
lt_abs.mp

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (le_or_gt x y : x ≤ y ∨ x > y)
-- #check (abs_of_nonneg : 0 ≤ x → abs x = x)
-- #check (abs_of_neg : x < 0 → abs x = -x)
-- #check (lt_abs : x < |y| ↔ x < y ∨ x < -y)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias