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En ℝ, x ≤ |x|

Demostrar con Lean4 que en \(ℝ\), \(x ≤ |x|\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {x : ℝ}

example : x ≤ |x| :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Se usarán los siguientes lemas \begin{align} &(∀ x ∈ ℝ)[0 ≤ x → |x| = x] \tag{L1} \newline &(∀ x, y ∈ ℝ)[x < y → x ≤ y] \tag{L2} \newline &(∀ x ∈ ℝ)[x ≤ 0 → x ≤ -x] \tag{L3} \newline &(∀ x ∈ ℝ)[x < 0 → |x| = -x] \tag{L4} \end{align}

Se demostrará por casos según \(x ≥ 0\):

Primer caso: Supongamos que \(x ≥ 0\). Entonces, \begin{align} x &≤ x \newline &= |x| &&\text{[por L1]} \end{align}

Segundo caso: Supongamos que \(x < 0\). Entonces, por el L2, se tiene \[ x ≤ 0 \tag{1} \] Por tanto, \begin{align} x &≤ -x &&\text{[por L3 y (1)]} \newline &= |x| &&\text{[por L4]} \end{align}

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic
import Mathlib.Tactic

variable {x : ℝ}

-- 1ª demostración
-- ===============

example : x ≤ |x| :=
by
  cases' le_or_gt 0 x with h1 h2
  . -- h1 : 0 ≤ x
    show x ≤ |x|
    calc x ≤ x   := le_refl x
         _ = |x| := (abs_of_nonneg h1).symm
  . -- h2 : 0 > x
    have h3 : x ≤ 0 := le_of_lt h2
    show x ≤ |x|
    calc x ≤ -x  := le_neg_self_iff.mpr h3
         _ = |x| := (abs_of_neg h2).symm

-- 2ª demostración
-- ===============

example : x ≤ |x| :=
by
  cases' le_or_gt 0 x with h1 h2
  . -- h1 : 0 ≤ x
    rw [abs_of_nonneg h1]
  . -- h2 : 0 > x
    rw [abs_of_neg h2]
    -- ⊢ x ≤ -x
    apply Left.self_le_neg
    -- ⊢ x ≤ 0
    exact le_of_lt h2

-- 3ª demostración
-- ===============

example : x ≤ |x| :=
by
  rcases (le_or_gt 0 x) with h1 | h2
  . -- h1 : 0 ≤ x
    rw [abs_of_nonneg h1]
  . -- h1 : 0 ≤ x
    rw [abs_of_neg h2]
    linarith

-- 4ª demostración
-- ===============

example : x ≤ |x| :=
  le_abs_self x

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (y : ℝ)
-- #check (Left.self_le_neg : x ≤ 0 → x ≤ -x)
-- #check (abs_of_neg : x < 0 → |x| = -x)
-- #check (abs_of_nonneg : 0 ≤ x → |x| = x)
-- #check (le_abs_self x : x ≤ |x|)
-- #check (le_neg_self_iff : x ≤ -x ↔ x ≤ 0)
-- #check (le_of_lt : x < y → x ≤ y)
-- #check (le_or_gt x y : x ≤ y ∨ x > y)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias