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En ℝ, si x ≠ 0 entonces x < 0 ó x > 0

Demostrar con Lean4 que en ℝ, si \(x ≠ 0\) entonces \(x < 0\) ó \(x > 0\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable {x : ℝ}

example
  (h : x ≠ 0)
  : x < 0 ∨ x > 0 :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Usando el siguiente lema \[ (∀ x y ∈ ℝ)[x < y ∨ x = y ∨ y < x] \] se demuestra distinguiendo tres casos.

Caso 1: Supongamos que \(x < 0\). Entonces, se verifica la disyunción ya que se verifica su primera parte.

Caso 2: Supongamos que \(x = 0\). Entonces, se tiene una contradicción con la hipótesis.

Caso 3: Supongamos que \(x > 0\). Entonces, se verifica la disyunción ya que se verifica su segunda parte.

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable {x : ℝ}

-- 1ª demostración
-- ===============

example
  (h : x ≠ 0)
  : x < 0 ∨ x > 0 :=
by
  rcases lt_trichotomy x 0 with hx1 | hx2 | hx3
  . -- hx1 : x < 0
    left
    -- ⊢ x < 0
    exact hx1
  . -- hx2 : x = 0
    contradiction
  . -- hx3 : 0 < x
    right
    -- ⊢ x > 0
    exact hx3

-- 2ª demostración
-- ===============

example
  (h : x ≠ 0)
  : x < 0 ∨ x > 0 :=
Ne.lt_or_lt h

-- 3ª demostración
-- ===============

example
  (h : x ≠ 0)
  : x < 0 ∨ x > 0 :=
by aesop

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (y : ℝ)
-- #check (lt_trichotomy x y : x < y ∨ x = y ∨ y < x)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias