Los supremos de las sucesiones crecientes son sus límites
Sea \(u\) una sucesión creciente. Demostrar con Lean4 que si \(S\) es un supremo de \(u\), entonces el límite de \(u\) es \(S\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (u : ℕ → ℝ) variable (S : ℝ) -- (limite u c) expresa que el límite de u es c. def limite (u : ℕ → ℝ) (c : ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - c| ≤ ε -- (supremo u S) expresa que el supremo de u es S. def supremo (u : ℕ → ℝ) (S : ℝ) := (∀ n, u n ≤ S) ∧ ∀ ε > 0, ∃ k, u k ≥ S - ε example (hu : Monotone u) (hS : supremo u S) : limite u S := by sorry
1. Demostración en lenguaje natural
Sea \(ε ∈ ℝ\) tal que \(ε > 0\). Tenemos que demostrar que \[ (∃ m ∈ ℕ)(∀ n ∈ ℕ)[n ≥ m → |u_n - S| ≤ ε] \tag{1} \]
Por ser \(S\) un supremo de u, existe un k ∈ ℕ tal que \[ u_k ≥ S - ε \tag{2} \] Vamos a demostrar que \(k\) verifica la condición de (1); es decir, que si \(n ∈ ℕ\) tal que \(n ≥ k\), entonces \[ |u_n - S| ≤ ε \] o, equivalentemente, \[ -ε ≤ u_n - S ≤ ε \]
La primera desigualdad se tiene por la siguente cadena: \begin{align} -ε &= (S - ε) - S \newline &≤ u_k - S &&\text{[por (2)]} \newline &≤ u_n - S &&\text{[porque \(u\) es creciente y \(n ≥ k\)]} \end{align}
La segunda desigualdad se tiene por la siguente cadena: \begin{align} u_n - S &≤ S - S &&\text{[porque \(S\) es un supremo de \(u\)]} \newline &= 0 \newline &≤ ε \end{align}
2. Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (u : ℕ → ℝ) variable (S : ℝ) -- (limite u c) expresa que el límite de u es c. def limite (u : ℕ → ℝ) (c : ℝ) := ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - c| ≤ ε -- (supremo u S) expresa que el supremo de u es S. def supremo (u : ℕ → ℝ) (S : ℝ) := (∀ n, u n ≤ S) ∧ ∀ ε > 0, ∃ k, u k ≥ S - ε -- 1ª demostración -- =============== example (hu : Monotone u) (hS : supremo u S) : limite u S := by unfold limite -- ⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ m, ∀ (n : ℕ), n ≥ m → |u n - S| ≤ ε intros ε hε -- ε : ℝ -- hε : ε > 0 -- ⊢ ∃ m, ∀ (n : ℕ), n ≥ m → |u n - S| ≤ ε unfold supremo at hS -- hS : (∀ (n : ℕ), u n ≤ S) ∧ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ k, u k ≥ S - ε cases' hS with hS₁ hS₂ -- hS₁ : ∀ (n : ℕ), u n ≤ S -- hS₂ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ k, u k ≥ S - ε cases' hS₂ ε hε with k hk -- k : ℕ -- hk : u k ≥ S - ε use k -- ⊢ ∀ (n : ℕ), n ≥ k → |u n - S| ≤ ε intros n hn -- n : ℕ -- hn : n ≥ k -- ⊢ |u n - S| ≤ ε rw [abs_le] -- ⊢ -ε ≤ u n - S ∧ u n - S ≤ ε constructor . -- ⊢ -ε ≤ u n - S unfold Monotone at hu -- hu : ∀ ⦃a b : ℕ⦄, a ≤ b → u a ≤ u b specialize hu hn -- hu : u k ≤ u n calc -ε = (S - ε) - S := by ring _ ≤ u k - S := sub_le_sub_right hk S _ ≤ u n - S := sub_le_sub_right hu S . calc u n - S ≤ S - S := sub_le_sub_right (hS₁ n) S _ = 0 := sub_self S _ ≤ ε := le_of_lt hε -- 2ª demostración -- =============== example (hu : Monotone u) (hS : supremo u S) : limite u S := by intros ε hε -- ε : ℝ -- hε : ε > 0 -- ⊢ ∃ m, ∀ (n : ℕ), n ≥ m → |u n - S| ≤ ε cases' hS with hS₁ hS₂ -- hS₁ : ∀ (n : ℕ), u n ≤ S -- hS₂ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ k, u k ≥ S - ε cases' hS₂ ε hε with k hk -- k : ℕ -- hk : u k ≥ S - ε use k -- ⊢ ∀ (n : ℕ), n ≥ k → |u n - S| ≤ ε intros n hn -- n : ℕ -- hn : n ≥ k -- ⊢ |u n - S| ≤ ε rw [abs_le] -- ⊢ -ε ≤ u n - S ∧ u n - S ≤ ε constructor . -- ⊢ -ε ≤ u n - S linarith [hu hn] . -- ⊢ u n - S ≤ ε linarith [hS₁ n] -- 3ª demostración -- =============== example (hu : Monotone u) (hS : supremo u S) : limite u S := by intros ε hε -- ε : ℝ -- hε : ε > 0 -- ⊢ ∃ m, ∀ (n : ℕ), n ≥ m → |u n - S| ≤ ε cases' hS with hS₁ hS₂ -- hS₁ : ∀ (n : ℕ), u n ≤ S -- hS₂ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ k, u k ≥ S - ε cases' hS₂ ε hε with k hk -- k : ℕ -- hk : u k ≥ S - ε use k -- ⊢ ∀ (n : ℕ), n ≥ k → |u n - S| ≤ ε intros n hn -- n : ℕ -- hn : n ≥ k -- ⊢ |u n - S| ≤ ε rw [abs_le] -- ⊢ -ε ≤ u n - S ∧ u n - S ≤ ε constructor <;> linarith [hu hn, hS₁ n] -- Lemas usados -- ============ -- variable (a b : ℝ) -- #check (abs_le : |a| ≤ b ↔ -b ≤ a ∧ a ≤ b) -- #check (le_of_lt : a < b → a ≤ b) -- #check (sub_le_sub_right : a ≤ b → ∀ (c : ℝ), a - c ≤ b - c) -- #check (sub_self a : a - a = 0)
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
3. Demostraciones con Isabelle/HOL
theory Los_supremos_de_las_sucesiones_crecientes_son_sus_limites imports Main HOL.Real begin (* (limite u c) expresa que el límite de u es c. *) definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "limite u c ⟷ (∀ε>0. ∃k. ∀n≥k. ¦u n - c¦ ≤ ε)" (* (supremo u M) expresa que el supremo de u es M. *) definition supremo :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool" where "supremo u M ⟷ ((∀n. u n ≤ M) ∧ (∀ε>0. ∃k. ∀n≥k. u n ≥ M - ε))" (* 1ª demostración *) lemma assumes "mono u" "supremo u M" shows "limite u M" proof (unfold limite_def; intro allI impI) fix ε :: real assume "0 < ε" have hM : "((∀n. u n ≤ M) ∧ (∀ε>0. ∃k. ∀n≥k. u n ≥ M - ε))" using assms(2) by (simp add: supremo_def) then have "∀ε>0. ∃k. ∀n≥k. u n ≥ M - ε" by (rule conjunct2) then have "∃k. ∀n≥k. u n ≥ M - ε" by (simp only: ‹0 < ε›) then obtain n0 where "∀n≥n0. u n ≥ M - ε" by (rule exE) have "∀n≥n0. ¦u n - M¦ ≤ ε" proof (intro allI impI) fix n assume "n ≥ n0" show "¦u n - M¦ ≤ ε" proof (rule abs_leI) have "∀n. u n ≤ M" using hM by (rule conjunct1) then have "u n - M ≤ M - M" by simp also have "… = 0" by (simp only: diff_self) also have "… ≤ ε" using ‹0 < ε› by (simp only: less_imp_le) finally show "u n - M ≤ ε" by this next have "-ε = (M - ε) - M" by simp also have "… ≤ u n - M" using ‹∀n≥n0. M - ε ≤ u n› ‹n0 ≤ n› by auto finally have "-ε ≤ u n - M" by this then show "- (u n - M) ≤ ε" by simp qed qed then show "∃k. ∀n≥k. ¦u n - M¦ ≤ ε" by (rule exI) qed (* 2ª demostración *) lemma assumes "mono u" "supremo u M" shows "limite u M" proof (unfold limite_def; intro allI impI) fix ε :: real assume "0 < ε" have hM : "((∀n. u n ≤ M) ∧ (∀ε>0. ∃k. ∀n≥k. u n ≥ M - ε))" using assms(2) by (simp add: supremo_def) then have "∃k. ∀n≥k. u n ≥ M - ε" using ‹0 < ε› by presburger then obtain n0 where "∀n≥n0. u n ≥ M - ε" by (rule exE) then have "∀n≥n0. ¦u n - M¦ ≤ ε" using hM by auto then show "∃k. ∀n≥k. ¦u n - M¦ ≤ ε" by (rule exI) qed end