Si g ∘ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva

José A. Alonso

10-06-2024

Sean \(f: X → Y\) y \(g: Y → Z\). Demostrar que si \(g ∘ f\) es suprayectiva, entonces \(g\) es suprayectiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

open Function

variable {X Y Z : Type}
variable {f : X → Y}
variable {g : Y → Z}

example
  (h : Surjective (g ∘ f))
  : Surjective g :=
by sorry

1. Demostración en lenguaje natural

Se \(z ∈ Z\). Entonces, por ser \(g ∘ f\) suprayectiva, existe un \(x ∈ X\) tal que \[ (g ∘ f)(x) = z \tag{1} \] Por tanto, existe \(y = f(x) ∈ Y\) tal que \begin{align} g(y) &= g(f(x)) \newline &= (g ∘ f)(x) \newline &= z &&\text{[por (1)]} \end{align}

2. Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic

open Function

variable {X Y Z : Type}
variable {f : X → Y}
variable {g : Y → Z}

-- 1ª demostración
-- ===============

example
  (h : Surjective (g ∘ f))
  : Surjective g :=
by
  intro z
  -- z : Z
  -- ⊢ ∃ a, g a = z
  cases' h z with x hx
  -- x : X
  -- hx : (g ∘ f) x = z
  use f x
  -- ⊢ g (f x) = z
  exact hx

-- 2ª demostración
-- ===============

example
  (h : Surjective (g ∘ f))
  : Surjective g :=
by
  intro z
  -- z : Z
  -- ⊢ ∃ a, g a = z
  cases' h z with x hx
  -- x : X
  -- hx : (g ∘ f) x = z
  exact ⟨f x, hx⟩

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

3. Demostraciones con Isabelle/HOL

theory Suprayectiva_si_lo_es_la_composicion
imports Main
begin

(* 1ª demostración *)

lemma
  assumes "surj (g ∘ f)"
  shows "surj g"
proof (unfold Fun.surj_def, rule)
  fix z
  have "∃x. z = (g ∘ f) x"
    using assms
    by (rule surjD)
  then obtain x where "z = (g ∘ f) x"
    by (rule exE)
  then have "z = g (f x)"
    by (simp only: Fun.comp_apply)
  then show "∃y. z = g y"
    by (rule exI)
qed

(* 2 demostración *)

lemma
  assumes "surj (g ∘ f)"
  shows "surj g"
using assms
by auto

end