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Las familias de conjuntos definen relaciones simétricas

Cada familia de conjuntos \(P\) define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de \(P\) contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean4 por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Demostrar con Lean4 que si \(P\) es una familia de subconjuntos de \(X\), entonces la relación definida por \(P\) es simétrica.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

-- 1ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, h1⟩
  -- A : Set X
  -- h1 : A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A
  have h2 : A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A := by tauto
  exact ⟨A, h2⟩

-- 2ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  unfold Symmetric
  -- ⊢ ∀ ⦃x y : X⦄, relacion P x y → relacion P y x
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  unfold relacion at *
  -- hxy : ∃ A, A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A
  -- ⊢ ∃ A, A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  use A

-- 3ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  use A

-- 4ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  exact ⟨A, ⟨hAP, hyA, hxA⟩⟩

1. Demostración en lenguaje natural

Sean \(x, y ∈ X\) tales que \(x\) está relacionado con \(y\) mediante la relación definida por \(P\). Entonces, existe \(A\) tal que \[ A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A \] Por tanto, \[ A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A \] es decir, \(y\) está relacionado con \(x\) mediante la relación definida por \(P\).

2. Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Tactic

variable {X : Type}
variable (P : Set (Set X))

def relacion (P : Set (Set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

-- 1ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, h1⟩
  -- A : Set X
  -- h1 : A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A
  have h2 : A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A := by tauto
  exact ⟨A, h2⟩

-- 2ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  unfold Symmetric
  -- ⊢ ∀ ⦃x y : X⦄, relacion P x y → relacion P y x
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  unfold relacion at *
  -- hxy : ∃ A, A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A
  -- ⊢ ∃ A, A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  use A
  -- ⊢ A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A
  repeat' constructor
  . -- ⊢ A ∈ P
    exact hAP
  . -- ⊢ y ∈ A
    exact hyA
  . -- ⊢ x ∈ A
    exact hxA

-- 3ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  use A
  -- ⊢ A ∈ P ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A
  (repeat' constructor) <;> assumption

-- 4ª demostración
-- ===============

example : Symmetric (relacion P) :=
by
  intros x y hxy
  -- x y : X
  -- hxy : relacion P x y
  -- ⊢ relacion P y x
  rcases hxy with ⟨A, hAP, ⟨hxA, hyA⟩⟩
  -- A : Set X
  -- hAP : A ∈ P
  -- hxA : x ∈ A
  -- hyA : y ∈ A
  exact ⟨A, ⟨hAP, hyA, hxA⟩⟩

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

3. Demostraciones con Isabelle/HOL

theory Las_familias_de_conjuntos_definen_relaciones_simetricas
imports Main
begin

definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"

(* 1ª demostración *)

lemma "symp (relacion P)"
proof (rule sympI)
  fix x y
  assume "relacion P x y"
  then have "∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A"
    by (unfold relacion_def)
  then have "∃A∈P. y ∈ A ∧ x ∈ A"
  proof (rule bexE)
    fix A
    assume hA1 : "A ∈ P" and hA2 : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
    have "y ∈ A ∧ x ∈ A"
      using hA2 by (simp only: conj_commute)
    then show "∃A∈P. y ∈ A ∧ x ∈ A"
      using hA1 by (rule bexI)
  qed
  then show "relacion P y x"
    by (unfold relacion_def)
qed

(* 2ª demostración *)

lemma "symp (relacion P)"
proof (rule sympI)
  fix x y
  assume "relacion P x y"
  then obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A"
    using relacion_def
    by metis
  then show "relacion P y x"
    using relacion_def
    by metis
qed

(* 3ª demostración *)

lemma "symp (relacion P)"
  using relacion_def
  by (metis sympI)

end