Calculemus (Publicaciones sobre Conjuntos)

Demostraciones de "s ⊆ f⁻¹(f(s))"

José A. Alonso — Mon, 07 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 e Isabelle/HOL que si \(s\) es un subconjunto del dominio de la función \(f\), entonces \(s\) está contenido en la imagen inversa de la imagen de \(s\) por \(f\); es decir, \[ s ⊆ f⁻¹[f[s]] \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Function
open Set
variable {α β : Type _}
variable (f : α → β)
variable (s : Set α)

example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Imagen_inversa_de_la_imagen
imports Main
begin

lemma "s ⊆ f -` (f ` s)"
sorry

end

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Demostraciones de "f(s ∪ t) = f(s) ∪ f(t)"

José A. Alonso — Sun, 06 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f(s ∪ t) = f(s) ∪ f(t) \] Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Function
variable {α β : Type _}
variable (f : α → β)
variable (s t : Set α)
open Set

example : f '' (s ∪ t) = f '' s ∪ f '' t :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Imagen_de_la_union
imports Main
begin

lemma "f ` (s ∪ t) = f ` s ∪ f ` t"
sorry

end

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Demostraciones de "f⁻¹(u ∩ v) = f⁻¹(u) ∩ f⁻¹(v)"

José A. Alonso — Sat, 05 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que

   f⁻¹(u ∩ v) = f⁻¹(u) ∩ f⁻¹(v)

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Function
variable {α β : Type _}
variable (f : α → β)
variable (u v : Set β)
open Set

example : f ⁻¹' (u ∩ v) = f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v :=
by sorry

y la siguiente teoría de Iasbelle/HOL:

theory Imagen_inversa_de_la_interseccion
imports Main
begin

lemma "f -` (u ∩ v) = f -` u ∩ f -` v"
sorry

end

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Demostraciones de "s ∪ (⋂_i A_i) = ⋂_i (A_i ∪ s)"

José A. Alonso — Fri, 04 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ s ∪ (⋂_i A_i) = ⋂_i (A_i ∪ s) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Tactic
open Set
variable {α : Type}
variable (s : Set α)
variable (A : ℕ → Set α)

example : s ∪ (⋂ i, A i) = ⋂ i, (A i ∪ s) :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Union_con_interseccion_general
imports Main
begin

lemma "s ∪ (⋂ i ∈ I. A i) = (⋂ i ∈ I. A i ∪ s)"
sorry

end

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Demostraciones de "⋂_i, (A(i) ∩ B(i)) = (⋂_i, A(i)) ∩ (⋂_i, B(i))"

José A. Alonso — Thu, 03 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ ⋂_i (A_i ∩ B_i) = (⋂_i A_i) ∩ (⋂_i B_i) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Tactic

open Set

variable {α : Type}
variable (A B : ℕ → Set α)

example : (⋂ i, A i ∩ B i) = (⋂ i, A i) ∩ (⋂ i, B i) :=
by sorry

la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Interseccion_de_intersecciones
imports Main
begin

lemma "(⋂ i ∈ I. A i ∩ B i) = (⋂ i ∈ I. A i) ∩ (⋂ i ∈ I. B i)"
sorry

end

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Demostraciones de "s ∩ ⋃_i A_i = ⋃_i (A_i ∩ s)"

José A. Alonso — Wed, 02 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ s ∩ ⋃_i A_i = ⋃_i (A_i ∩ s) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Data.Set.Lattice
import Mathlib.Tactic

open Set

variable {α : Type}
variable (s : Set α)
variable (A : ℕ → Set α)

example : s ∩ (⋃ i, A i) = ⋃ i, (A i ∩ s) :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Distributiva_de_la_interseccion_respecto_de_la_union_general
imports Main
begin

lemma "s ∩ (⋃ i ∈ I. A i) = (⋃ i ∈ I. (A i ∩ s))"
sorry

end

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Los primos mayores que 2 son impares

José A. Alonso — Tue, 01 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que los primos mayores que 2 son impares. Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Parity
import Mathlib.Tactic

open Nat

def Primos      : Set ℕ := {n | Nat.Prime n}
def MayoresQue2 : Set ℕ := {n | n > 2}
def Impares     : Set ℕ := {n | ¬Even n}

example : Primos ∩ MayoresQue2 ⊆ Impares :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Interseccion_de_los_primos_y_los_mayores_que_dos
imports Main "HOL-Number_Theory.Number_Theory"
begin

definition primos :: "nat set" where
  "primos = {n ∈ ℕ . prime n}"

definition mayoresQue2 :: "nat set" where
  "mayoresQue2 = {n ∈ ℕ . n > 2}"

definition impares :: "nat set" where
  "impares = {n ∈ ℕ . ¬ even n}"

lemma "primos ∩ mayoresQue2 ⊆ impares"
oops

end

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La unión del conjunto de los números naturales pares e impares es el conjunto de los naturales

José A. Alonso — Mon, 31 May 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que la unión del conjunto de los números naturales pares e impares es el conjunto de los naturales. Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Parity

def Naturales : Set ℕ := {n | True}
def Pares     : Set ℕ := {n | Even n}
def Impares   : Set ℕ := {n | ¬Even n}

example : Pares ∪ Impares = Naturales :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Union_de_pares_e_impares
imports Main
begin

definition naturales :: "nat set" where
  "naturales = {n ∈ ℕ . True}"

definition pares :: "nat set" where
  "pares = {n ∈ ℕ . even n}"

definition impares :: "nat set" where
  "impares = {n ∈ ℕ . ¬ even n}"

lemma "pares ∪ impares = naturales"
oops

end

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Demostraciones de "(s \ t) ∪ (t \ s) = (s ∪ t) \ (s ∩ t)"

José A. Alonso — Fri, 28 May 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ (s \setminus t) ∪ (t \setminus s) = (s ∪ t) \setminus (s ∩ t) \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Tactic

open Set

variable {α : Type}
variable (s t : Set α)

example : (s \\ t) ∪ (t \\ s) = (s ∪ t) \\ (s ∩ t) :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Diferencia_de_union_e_interseccion
imports Main
begin

lemma "(s - t) ∪ (t - s) = (s ∪ t) - (s ∩ t)"
oops

end

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Demostraciones de "(s \ t) ∪ t = s ∪ t"

José A. Alonso — Thu, 27 May 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ (s \setminus t) ∪ t = s ∪ t \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Basic
open Set

variable {α : Type}
variable (s t : Set α)

example : (s \\setminus t) ∪ t = s ∪ t :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Union_con_su_diferencia
imports Main
begin

lemma "(s - t) ∪ t = s ∪ t"
oops

end

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