Calculemus (Publicaciones sobre Funciones)

Reto 7: La composición de funciones inyectivas es inyectiva

José A. Alonso — Sun, 21 Jun 2026 04:00:00 GMT

Demostrar que la composición de funciones inyectivas es inyectiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean 4:

import Mathlib.Tactic

open Function

variable {α : Type _} {β : Type _} {γ : Type _}
variable {f : α → β} {g : β → γ}

example
  (hg : Injective g)
  (hf : Injective f) :
  Injective (g ∘ f) :=
by sorry

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Demostraciones de "s ⊆ f⁻¹(f(s))"

José A. Alonso — Mon, 07 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 e Isabelle/HOL que si \(s\) es un subconjunto del dominio de la función \(f\), entonces \(s\) está contenido en la imagen inversa de la imagen de \(s\) por \(f\); es decir, \[ s ⊆ f⁻¹[f[s]] \]

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Function
open Set
variable {α β : Type _}
variable (f : α → β)
variable (s : Set α)

example : s ⊆ f ⁻¹' (f '' s) :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Imagen_inversa_de_la_imagen
imports Main
begin

lemma "s ⊆ f -` (f ` s)"
sorry

end

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Demostraciones de "f(s ∪ t) = f(s) ∪ f(t)"

José A. Alonso — Sun, 06 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que \[ f(s ∪ t) = f(s) ∪ f(t) \] Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Function
variable {α β : Type _}
variable (f : α → β)
variable (s t : Set α)
open Set

example : f '' (s ∪ t) = f '' s ∪ f '' t :=
by sorry

y la siguiente teoría de Isabelle/HOL:

theory Imagen_de_la_union
imports Main
begin

lemma "f ` (s ∪ t) = f ` s ∪ f ` t"
sorry

end

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Demostraciones de "f⁻¹(u ∩ v) = f⁻¹(u) ∩ f⁻¹(v)"

José A. Alonso — Sat, 05 Jun 2021 04:00:00 GMT

Demostrar con Lean4 y con Isabelle/HOL que

   f⁻¹(u ∩ v) = f⁻¹(u) ∩ f⁻¹(v)

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Set.Function
variable {α β : Type _}
variable (f : α → β)
variable (u v : Set β)
open Set

example : f ⁻¹' (u ∩ v) = f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v :=
by sorry

y la siguiente teoría de Iasbelle/HOL:

theory Imagen_inversa_de_la_interseccion
imports Main
begin

lemma "f -` (u ∩ v) = f -` u ∩ f -` v"
sorry

end

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