He actualizado las soluciones del ejercicio «Listas con suma dada» cuyo enunciado es

Definir la función

conSuma :: (Eq a, Num a) => [a] -> [[a]] -> [[[a]]]

tal que (conSuma xs yss) es la lista de los vectores de xss cuya suma vectorial es xs. Por ejemplo,

λ> conSuma [9,10,12] [[4,7,3],[3,1,4],[5,3,9],[2,2,5]]
[[[4,7,3],[5,3,9]],[[4,7,3],[3,1,4],[2,2,5]]]
λ> conSuma [9,11,12] [[4,7,3],[3,1,4],[5,3,9],[2,2,5]]
[]
λ> length (conSuma [5,5,5] (replicate 70 [1,1,1]))
12103014

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Suma de una lista de vectores» cuyo enunciado es

Definir la función

sumaVec :: Num a => [[a]] -> [a]

tal que (sumaVec xss) es la suma de los vectores de xss. Por ejemplo,

sumaVec [[4,7,3],[3,1,4],[2,2,5]]  ==  [9,10,12]
sumaVec [[4,7],[3,3],[1,4],[2,5]]  ==  [10,19]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Ordenación según una función» cuyo enunciado es

Definir la función

ordenaSegun :: Ord b => (a -> b) -> [a] -> [a]

tal que (ordenaSegun f xs) es la lista obtenida ordenando los elementos de xs según sus valores mediante la función f. Por ejemplo,

ordenaSegun abs [-3,2,5,-2]                           ==  [2,-2,-3,5]
ordenaSegun abs [-3,-2,5,2]                           ==  [-2,2,-3,5]
ordenaSegun length ["pq","x","mn"]                    ==  ["x","pq","mn"]
[g 0 | g <- ordenaSegun (\f -> f 4) [(+5),(+2),(+3)]] == [2,3,5]

Comprobar con QuickCheck que (ordenaSegun id) es equivalente a sort.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Mezcla de infinitas listas infinitas» cuyo enunciado es

Definir la función

mezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]

tal que (mezclaTodas xss) es la mezcla ordenada de xss, donde tanto xss como sus elementos son listas infinitas ordenadas. Por ejemplo,

λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2..]])
[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]
λ> take 10 (mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2,9..]])
[2,4,6,8,9,10,12,14,16,18]
λ> mezclaTodas [[n,2*n..] | n <- [2..]] !! 50000
50002

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Conjuntos de puntos enteros en regiones rectangulares» cuyo enunciado es

Los puntos de una cuadrícula se puede representar mediante pares de números enteros

type Punto = (Int,Int)

y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato

data Region = Rectangulo Punto  Punto
            | Union      Region Region
            | Diferencia Region Region
  deriving (Eq, Show)

donde

• (Rectangulo p1 p2) es la región formada por un rectángulo cuyo vértice superior izquierdo es p1 y su vértice inferior derecho es p2.
• (Union r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a alguna de las regiones r1 y r2.
• (Diferencia r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a la región r1 pero no pertenecen a la r2.

Definir la función

puntos :: Region -> [Punto]

tal que (puntos r) es la lista de puntos de la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por

r0021, r3051, r4162 :: Region
r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1)
r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1)
r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2)

se tiene

λ> puntos r0021
[(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)]
λ> puntos r3051
[(3,0),(3,1),(4,0),(4,1),(5,0),(5,1)]
λ> puntos r4162
[(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2)]
λ> puntos (Union r0021 r3051)
[(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(4,0),(4,1),(5,0),(5,1)]
λ> puntos (Diferencia r3051 r4162)
[(3,0),(3,1),(4,0),(5,0)]
λ> puntos (Union (Diferencia r3051 r4162) r4162)
[(3,0),(3,1),(4,0),(5,0),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2)]

Usando la función enRegion, que verifica si un punto pertenece a una región, definida en un ejercicio anterior por

enRegion :: Punto -> Region -> Bool
enRegion (x,y) (Rectangulo (x1,y1) (x2,y2)) =
  x1 <= x && x <= x2 && y1 <= y && y <= y2
enRegion p (Union r1 r2)      = enRegion p r1 || enRegion p r2
enRegion p (Diferencia r1 r2) = enRegion p r1 && not (enRegion p r2)

comprobar con QuickCheck que (enRegion p r) es equivalente a (p elem puntos r).

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Máxima suma de los segmentos» cuyo enunciado es

Un segmento de una lista xs es una sublista de xs formada por elementos consecutivos en la lista. El problema de la máxima suma de segmentos consiste en dada una lista de números enteros calcular el máximo de las sumas de todos los segmentos de la lista. Por ejemplo, para la lista [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6] la máxima suma de segmentos es 7 que es la suma del segmento [5,-2,1,3] y para la lista [-1,-2,-3] es 0 que es la suma de la lista vacía.

Definir la función

mss :: [Integer] -> Integer

tal que (mss xs) es la máxima suma de los segmentos de xs. Por ejemplo,

mss [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6]  ==  7
mss [-1,-2,-3]                     ==  0
mss [1..500]                       ==  125250
mss [1..1000]                      ==  500500
mss [-500..3]                      ==  6
mss [-1000..3]                     ==  6
mss [1..10^2]                      ==  5050
mss [1..10^3]                      ==  500500
mss [1..10^4]                      ==  50005000
mss [1..10^5]                      ==  5000050000
mss [1..10^6]                      ==  500000500000
mss [1..10^7]                      ==  50000005000000

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Listas disjuntas» cuyo enunciado es

Definir la función

disjuntas :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool

tal que (disjuntas xs ys) se verifica si las listas ordenadas crecientemente xs e ys son disjuntas. Por ejemplo,

disjuntas [2,5]   [1,4,7]                  ==  True
disjuntas [2,5,7] [1,4,7]                  ==  False
disjuntas [1..1000000] [3000000..4000000]  ==  True

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Triángulos de Herón» cuyo enunciado es

Un triángulo de Herón es un triángulo tal que sus lados y su área son números enteros. Su nombre se debe al matemático griego Herón de Alejandría que descubrió la fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados.

La fórmula de Herón dice que el área de un triángulo cuyos lados miden \(a\), \(b\) y \(c\) es \[\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] donde \(s\) es el semiperímetro del triángulo; es decir, \[s=\frac{a+b+c}{2}\]

Un ejemplo de triángulo de Herón es el triángulo de lados 3, 4 y 5 cuya área es 6. Se puede observar que cualquier triángulo cuyos lados sean múltiplos de 3, 4 y 5 también es de Herón; por ejemplo, el de lados 6, 8 y 10 también lo es.

Se dice que un triángulo de Herón es primitivo si el máximo común divisor de sus lados es 1. Por ejemplo, el de lados 3, 4 y 5 es primitivo; pero el de lados 6, 8 y 10 no lo es.

Definir la sucesión

triangulosHeronPrimitivos :: [(Int,Int,Int)]

tal que sus elementos son los triángulos de Herón primitivos ordenados por su perímetro. Por ejemplo,

λ> take 7 triangulosHeronPrimitivos
[(3,4,5),(5,5,6),(5,5,8),(5,12,13),(4,13,15),(10,13,13),(9,10,17)]
λ> triangulosHeronPrimitivos !! 1000
(212,225,247)

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «2015 y los números pitagóricos» cuyo enunciado es

Un número pitagórico es un número natural cuyo cuadrado se puede escribir como la suma de los cuadrados de dos números naturales no nulos; es decir, el número natural a es pitagórico si existen dos números naturales b y c distintos de cero tales que a² = b²+c². Por ejemplo, 5 es un número pitagórico ya que 5² = 3²+4² y también lo es 2015 ya que 2015² = 1612²+1209².

Definir la sucesión

pitagoricos :: [Integer]

cuyos elementos son los números pitagóricos. Por ejemplo,

λ> take 20 pitagoricos
[5,10,13,15,17,20,25,26,29,30,34,35,37,39,40,41,45,50,51,52]
λ> pitagoricos !! 50000
73035

Calcular la posición de 2015 en la sucesión.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Simplificación de expresiones proposicionales» cuyo enunciado es

El siguiente tipo de dato algebraico representa las fórmulas proposicionales construidas con una variable (X), las constantes verdadera (V) y falsa (F), la negación (Neg) y la disyunción (Dis):

data Form = X
          | V
          | F
          | Neg Form
          | Dis Form Form
  deriving (Eq, Ord, Show)

Por ejemplo, la fórmula (¬X v V) se representa por (Dis (Neg X) V).

Definir las funciones

valor      :: Form -> Bool -> Bool
simplifica :: Form -> Form

tales que

• (valor p i) es el valor de la fórmula p cuando se le asigna a X el valor i. Por ejemplo,

valor (Neg X) True           ==  False
valor (Neg F) True           ==  True
valor (Dis X (Neg X)) True   ==  True
valor (Dis X (Neg X)) False  ==  True

• (simplifica p) es una forma obtenida aplicándole a p las siguientes reglas de simplificación:

Neg V       = F
Neg F       = V
Neg (Neg q) = q
Dis V q     = V
Dis F q     = q
Dis q V     = V
Dis q F     = F
Dis q q     = q

Por ejemplo,

simplifica (Dis X (Neg (Neg X)))                      ==  X
simplifica (Neg (Dis (Neg (Neg X)) F))                ==  Neg X
simplifica (Dis (Neg F) F)                            ==  V
simplifica (Dis (Neg V) (Neg (Dis (Neg X) F)))        ==  X
simplifica (Dis (Neg V) (Neg (Dis (Neg (Neg X)) F)))  ==  Neg X

Comprobar con QuickCheck que para cualquier fórmula p y cualquier booleano i se verifica que (valor (simplifica p) i) es igual a (valor p i).

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «2015 y los números con factorización capicúa» cuyo enunciado es

Un número tiene factorización capicúa si puede escribir como un producto de números primos tal que la concatenación de sus dígitos forma un número capicúa. Por ejemplo, el 2015 tiene factorización capicúa ya que \(2015 = 13 \times 5 \times 31\), los factores son primos y su concatenación es 13531 que es capicúa.

Definir la sucesión

conFactorizacionesCapicuas :: [Int]

formada por los números que tienen factorización capicúa. Por ejemplo,

λ> take 20 conFactorizacionesCapicuas
[1,2,3,4,5,7,8,9,11,12,16,18,20,25,27,28,32,36,39,44]
λ> conFactorizacionesCapicuas !! 3000
91019

Usando conFactorizacionesCapicuas escribir expresiones cuyos valores sean las respuestas a las siguientes preguntas y calcularlas

1. ¿Qué lugar ocupa el 2015 en la sucesión?
2. ¿Cuál fue el anterior año con factorización capicúa?
3. ¿Cuál será el siguiente año con factorización capicúa?

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Período de una lista» cuyo enunciado es

El período de una lista xs es la lista más corta ys tal que xs se puede obtener concatenando varias veces la lista ys. Por ejemplo, el período "abababab" es "ab" ya que "abababab" se obtiene repitiendo tres veces la lista "ab".

Definir la función

periodo :: Eq a => [a] -> [a]

tal que (periodo xs) es el período de xs. Por ejemplo,

periodo "ababab"      ==  "ab"
periodo "buenobueno"  ==  "bueno"
periodo "oooooo"      ==  "o"
periodo "sevilla"     ==  "sevilla"

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «La función suelo» cuyo enunciado es

La función suelo asigna a cada número real el número entero más próximo por defecto; es decir, el mayor número entero igual o menor que ese número real. Por ejemplo, al -2.4 le asigna el -3 y al 1.7 el 1.

Haskell tiene una implementación de la función suelo llamada floor. El objetivo de este ejercicio es redefinir dicha función; es decir, definir la función

suelo :: Float -> Integer

tal que (suelo x) es el suelo de x. Por ejemplo,

suelo (-2.7)  ==  -3
suelo (-2.4)  ==  -3
suelo (-2)    ==  -2
suelo 0       ==   0
suelo 2       ==   2
suelo 2.4     ==   2
suelo 2.7     ==   2

Comprobar con QuickCheck que las funciones suelo y floor son equivalentes.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Enumeración de los pares de números naturales» cuyo enunciado es

Los pares de los números naturales se pueden ordenar por la suma de sus componentes y entres los pares con la misma suma elegir antes al que tiene mayor su primera componente.

Definir las funciones

pares    :: [(Int,Int)]
posicion :: (Int,Int) -> Int

tales que

• pares es la lista de los pares de números naturales con el orden anterior. Por ejemplo,

λ> take 10 pares
[(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)]

• (posicion p) es la posición del par p en la lista pares. Por ejemplo,

posicion (0,0)  ==  0
posicion (2,0)  ==  3

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Elementos más frecuentes» cuyo enunciado es

Definir la función

masFrecuentes :: Ord a => Int -> [a] -> [(Int,a)]

tal que (masFrecuentes n xs) es la lista de los pares formados por n elementos de xs que aparecen más veces junto con el número de veces que aparecen. Por ejemplo,

λ> masFrecuentes 2 "trianera"
[(2,'r'),(2,'a')]
λ> masFrecuentes 2 "interdisciplinariedad"
[(5,'i'),(3,'d')]
λ> masFrecuentes 3 (show (product [1..10000]))
[(5803,'0'),(3416,'2'),(3341,'4')]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Puntos en regiones rectangulares» cuyo enunciado es

Los puntos se puede representar mediante pares de números

type Punto = (Float,Float)

y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato

data Region = Rectangulo Punto  Punto
            | Union      Region Region
            | Diferencia Region Region
            deriving (Eq, Show)

donde

• (Rectangulo p1 p2) es la región formada por un rectángulo cuyo vértice superior izquierdo es p1 y su vértice inferior derecho es p2.
• (Union r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a alguna de las regiones r1 o r2.
• (Diferencia r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a la región r1 pero no pertenecen a la r2.

Definir la función

enRegion :: Punto -> Region -> Bool

tal que (enRegion p r) se verifica si el punto p pertenece a la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por

r0021, r3051, r4162 :: Region
r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1)
r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1)
r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2)

se tiene

enRegion (1.6,0.7) r0021                               ==  True
enRegion (3.6,0.7) r0021                               ==  False
enRegion (1,1) (Union r0021 r3051)                     ==  True
enRegion (4,0) (Union r0021 r3051)                     ==  True
enRegion (4,2) (Union r0021 r3051)                     ==  False
enRegion (3,1) (Diferencia r3051 r4162)                ==  True
enRegion (4,1) (Diferencia r3051 r4162)                ==  False
enRegion (4,2) (Diferencia r3051 r4162)                ==  False
enRegion (4,2) (Union (Diferencia r3051 r4162) r4162)  ==  True

Comprobar con QuickCheck que si el punto p está en la región r1, entonces, para cualquier región r2, p está en (Union r1 r2) y en (Union r2 r1), pero no está en (Diferencia r2 r1).

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Desemparejamiento de listas» cuyo enunciado es

Definir la función

desemparejada :: [(a,b)] -> ([a],[b])

tal que (desemparejada ps) es el par de lista (xs,ys) tal que al emparejar (con zip) xs e ys devuelve ps. Por ejemplo,

λ> desemparejada [(3,'l'),(2,'u'),(5,'i'),(9,'s')]
([3,2,5,9],"luis")

Comprobar con QuickCheck que

• desemparejada es equivalente a la función predefinida unzip.
• si el valor de (desemparejada ps) es (xs,ys), entonces (zip xs ys) es igual a ps.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «2015 y los números tales que la suma de sus dígitos es igual al número de sus divisores» cuyo enunciado es

Una propiedad del 2015 es que la suma de sus dígitos coincide con el número de sus divisores; en efecto, la suma de sus dígitos es 2+0+1+5=8 y tiene 8 divisores (1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 y 2015).

Definir la sucesión

especiales :: [Int]

formada por los números n tales que la suma de los dígitos de n coincide con el número de divisores de n. Por ejemplo,

λ> take 15 especiales
[1,2,11,22,36,84,101,152,156,170,202,208,225,228,288]
λ> length (takeWhile (<300000) especiales)
4305

Usar la sucesión para responder las siguientes cuestiones

• ¿Cuántos años hasta el 2015 inclusive han cumplido la propiedad?
• ¿Cuál fue el anterior al 2015 que cumplió la propiedad?
• ¿Cuál será el siguiente al 2015 que cumplirá la propiedad?

Nota: La sucesión especiales es la misma que la A057531 de la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «2015 como raíz cuadrada de la suma de tres cubos» cuyo enunciado es

Todos los años, en las proximidades del final de año suelen aparecer cuestiones con propiedades del número del nuevo año. Una sobre el 2015 es la publicada el martes en la entrada 2015 como raíz de la suma de tres cubos del blog Números y algo más en la que se pide calcular tres números tales que 2015 sea igual a la raíz cuadrada de la suma de dichos tres números.

A partir de dicha entrada, se propone el siguiente problema: Definir la sucesión

raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como raíces cuadradas de sumas de tres cubos. Por ejemplo,

λ> take 9 raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos
[6,9,15,27,48,53,59,71,72]
λ> raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos !! 100
672

El 6 está en la sucesión porque 1³+2³+3³ = 36 y la raíz cuadrada de36 es 6 y el 9 está porque 3³+3³+3³ = 81 y la raíz cuadrada de 81 es 9. Algunos números tienen varias descomposiones como raíz cuadrada de suma de tres cubos; por ejemplo, el 71 se puede escribir como la raíz cuadrada de la suma de los cubos de 6, 9 y 16 y también como la de 4, 4, y 17.

A partir de la sucesión se plantean las siguientes cuestiones:

• ¿Qué lugar ocupa el 2015 en la sucesión?
• ¿Cuál será el próximo año que se podrá escribir como la raíz cuadrada de suma de tres cubos?
• ¿Cuáles son las descomposiciones de 2015 como raíz cuadrada de suma de tres cubos?
• ¿Cuáles son los años hasta el 2015 que se pueden escribir como raíz cuadrada de suma de tres cubos de más formas distintas?

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Elementos adicionales» cuyo enunciado es

Definir la función

adicionales :: Ord a => Int -> [a] -> [a] -> [a]

tal que (adicionales n xs ys) es la lista de los n elementos de xs que no pertenecen a ys (se supone que n es el número de elementos de xs que no pertenecen a ys, que las listas xs e ys están estrictamente ordenadas y que pueden ser infinitas). Por ejemplo,

adicionales 0 [1,3]   [1,3]                  ==  []
adicionales 1 [1,3]   [1]                    ==  [3]
adicionales 2 [1,3,5] [1]                    ==  [3,5]
adicionales 2 [1,3,5,7,9] [1,5,7]            ==  [3,9]
adicionales 2 ([1,3,5]++[7..]) ([1]++[7..])  ==  [3,5]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Representaciones de matrices» cuyo enunciado es

Las matrices se pueden representar de distintas formas. Por ejemplo, la matriz

|7 5 6|
|1 9 4|

se puede representar como la terna

([7,5,6,1,9,4],2,3)

(donde la primera componente es la lista de los elementos de matriz, la segunda es su número de filas y la tercera es su número de columnas) y también se puede representar como una lista de listas

[[[7,5,6],[1,9,4]]

(donde cada elemento es una de las filas de la matriz).

Definir las funciones

ternaAlistas :: ([a],Int,Int) -> [[a]]
listasAterna :: [[a]] -> ([a],Int,Int)

tales que ternaAlistas pase de la primera representación a la segunda y listasAterna pase de la segunda a la primera. Por ejemplo,

ternaAlistas ([7,5,6,1,9,4],2,3)  ==  [[7,5,6],[1,9,4]]
listasAterna [[7,5,6],[1,9,4]]    ==  ([7,5,6,1,9,4],2,3)
ternaAlistas ([7,5,6,1,9,4],3,2)  ==  [[7,5],[6,1],[9,4]]
listasAterna [[7,5],[6,1],[9,4]]  ==  ([7,5,6,1,9,4],3,2)

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Permutación de elementos consecutivos» cuyo enunciado es

Definir la función

permutaConsecutivos :: [a] -> [a]

tal que (permutaConsecutivos xs) es la lista obtenida permutando los elementos consecutivos de xs. Por ejemplo,

permutaConsecutivos [1..8]         ==  [2,1,4,3,6,5,8,7]
permutaConsecutivos [1..9]         ==  [2,1,4,3,6,5,8,7,9]
permutaConsecutivos "simplemente"  ==  "ispmelemtne"

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Juego de bloques con letras» cuyo enunciado es

Para el juego de los bloques se dispone de un conjunto de bloques con una letra en cada una de sus dos caras. El objetivo del juego consiste en formar palabras sin que se pueda usar un bloque más de una vez y sin diferenciar mayúsculas de minúsculas. Por ejemplo, si se tiene tres bloques de forma que el 1º tiene las letras A y B, el 2ª la N y la O y el 3º la O y la A entonces se puede obtener la palabra ANA de dos formas: una con los bloques 1, 2 y 3 y otra con los 3, 2 y 1.

Definir la función

soluciones :: [String] -> String -> [[String]]

tal que (soluciones bs cs) es la lista de las soluciones del juego de los bloque usando los bloques bs (cada bloque es una cadena de dos letras mayúsculas) para formar la palabra cs. Por ejemplo,

λ> soluciones ["AB","NO","OA"] "ANA"
[["AB","NO","OA"],["OA","NO","AB"]]
λ> soluciones ["AB","NE","OA"] "Bea"
[["AB","NE","OA"]]
λ> soluciones ["AB","NE","OA"] "EvA"
[]
λ> soluciones ["AB","NO","OA","NC"] "ANA"
[["AB","NO","OA"],["AB","NC","OA"],["OA","NO","AB"],["OA","NC","AB"]]
λ> soluciones ["AB","NO","OA","NC"] "Anca"
[["AB","NO","NC","OA"],["OA","NO","NC","AB"]]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Números que sumados a su siguiente primo dan primos» cuyo enunciado es

La Enciclopedia electrónica de sucesiones de enteros (OEIS por sus siglas en inglés, de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) es una base de datos que registra sucesiones de números enteros. Está disponible libremente en Internet, en la dirección http://oeis.org.

La semana pasada Antonio Roldán añadió una nueva sucesión a la OEIS, la A249624 que sirve de base para el problema de hoy.

Definir la sucesión

a249624 :: [Integer]

tal que sus elementos son los números x tales que la suma de x y el primo que le sigue es un número primo. Por ejemplo,

λ> take 20 a249624
[0,1,2,6,8,14,18,20,24,30,34,36,38,48,50,54,64,68,78,80]

El número 8 está en la sucesión porque su siguiente primo es 11 y 8+11=19 es primo. El 12 no está en la sucesión porque su siguiente primo es 13 y 12+13=25 no es primo.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Normalización de expresiones aritméticas» cuyo enunciado es

El siguiente tipo de dato representa expresiones construidas con variables, sumas y productos

data Expr = V String
          | S Expr Expr
          | P Expr Expre
  deriving (Eq, Show)

Por ejemplo, x*(y+z) se representa por (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))

Una expresión es un término si es un producto de variables. Por ejemplo, x*(y*z) es un término pero x+(y*z) ni x*(y+z) lo son.

Una expresión está en forma normal si es una suma de términos. Por ejemplo, x*(y*z) y x+(y*z) están en forma normal; pero x*(y+z) y (x+y)*(x+z) no lo están.

Definir la función

esTermino :: Expr -> Bool
esNormal  :: Expr -> Bool
normal    :: Expr -> Expr

tales que

• (esTermino a) se verifica si a es un término. Por ejemplo,

esTermino (V "x")                         == True
esTermino (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True
esTermino (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False
esTermino (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == False

• (esNormal a) se verifica si a está en forma normal. Por ejemplo,

esNormal (V "x")                                     == True
esNormal (P (V "x") (P (V "y") (V "z")))             == True
esNormal (S (V "x") (P (V "y") (V "z")))             == True
esNormal (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))             == False
esNormal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "y") (V "z"))) == False
esNormal (S (P (V "x") (V "y")) (S (V "z") (V "x"))) == True

• (normal e) es la forma normal de la expresión e obtenida aplicando, mientras que sea posible, las propiedades distributivas ((a+b)·c = a·c+b·c y c·(a+b) = c·a+c·b). Por ejemplo,

λ> normal (P (S (V "x") (V "y")) (V "z"))
S (P (V "x") (V "z")) (P (V "y") (V "z"))
λ> normal (P (V "z") (S (V "x") (V "y")))
S (P (V "z") (V "x")) (P (V "z") (V "y"))
λ> normal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "u") (V "v")))
S (S (P (V "x") (V "u")) (P (V "x") (V "v")))
   (S (P (V "y") (V "u")) (P (V "y") (V "v")))
λ> normal (S (P (V "x") (V "y")) (V "z"))
S (P (V "x") (V "y")) (V "z")
λ> normal (V "x")
V "x"

Comprobar con QuickCheck que para cualquier expresión e, (normal e) está en forma normal y que (normal (normal e)) es igual a (normal e).

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Sin consecutivos repetidos» cuyo enunciado es

Definir la función

sinConsecutivosRepetidos :: Eq a => [a] -> [a]

tal que (sinConsecutivosRepetidos xs) es la lista obtenida a partir de xs de forma que si hay dos o más elementos idénticos consecutivos, borra las repeticiones y deja un elemento. Por ejemplo,

λ> sinConsecutivosRepetidos "eesssooo essss   toodddooo"
"eso es todo"

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Búsqueda en lista de listas de pares» cuyo enunciado es

Definir la función

busca :: Eq a => a -> [[(a,b)]] -> [b]

tal que (busca x pss) es la lista de los segundos componentes de los pares de la lista de listas de pares pss cuya primera componentes es x. Por ejemplo,

busca 3 [[(3,4)],[(5,4),(3,2),(3,5)],[(4,1),(7,3)]] == [4,2,5]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Problema de las puertas» cuyo enunciado es

Un hotel dispone de n habitaciones y n camareros. Los camareros tienen la costumbre de cambiar de estado las puestas (es decir, abrir las cerradas y cerrar las abiertas). El proceso es el siguiente:

• Inicialmente todas las puertas están cerradas.
• El primer camarero cambia de estado las puertas de todas las habitaciones.
• El segundo cambia de estado de las puertas de las habitaciones pares.
• El tercero cambia de estado todas las puertas que son múltiplos de 3.
• El cuarto cambia de estado todas las puertas que son múltiplos de 4
• Así, hasta que ha pasado el último camarero.

Por ejemplo, para n = 5

Pase    | Puerta 1 | Puerta 2 | Puerta 3 | Puerta 4 | Puerta 5
--------+----------+----------+----------+----------+---------
Inicial | Cerrada  | Cerrada  | Cerrada  | Cerrada  | Cerrada
Pase 1  | Abierta  | Abierta  | Abierta  | Abierta  | Abierta
Pase 2  | Abierta  | Cerrada  | Abierta  | Cerrada  | Abierta
Pase 3  | Abierta  | Cerrada  | Cerrada  | Cerrada  | Abierta
Pase 4  | Abierta  | Cerrada  | Cerrada  | Abierta  | Abierta
Pase 5  | Abierta  | Cerrada  | Cerrada  | Abierta  | Cerrada

Los estados de las puertas se representan por el siguiente tipo de datos

data Estado = Abierta | Cerrada
  deriving (Eq, Show)

Definir la función

final :: Int -> [Estado]

tal que (final n) es la lista de los estados de las n puertas después de que hayan pasado los n camareros. Por ejemplo,

λ> final 5
[Abierta,Cerrada,Cerrada,Abierta,Cerrada]
λ> final 7
[Abierta,Cerrada,Cerrada,Abierta,Cerrada,Cerrada,Cerrada]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio «Llanuras de longitud dada» cuyo enunciado es

Una llanura de longitud n de una lista xs es una sublista de xs formada por n elementos iguales.

Definir la función

llanuras :: Eq a => Int -> [a] -> [[a]]

tal que (llanuras n xs) es la lista de las llanuras de xs que tienen n elementos como mínimo. Por ejemplo,

llanuras 3 "aabbbcddddffxffxx"  ==  ["bbb","dddd"]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Expresiones vectoriales cuyo enunciado es

El siguiente tipo de dato define las expresiones vectoriales formadas por un vector, la suma de dos expresiones vectoriales o el producto de un entero por una expresión vectorial.

data ExpV = Vec Int Int
          | Sum ExpV ExpV
          | Mul Int ExpV
  deriving Show

Definir la función

valor :: ExpV -> (Int,Int)

tal que (valor e) es el valor de la expresión vectorial e. Por ejemplo,

valor (Vec 1 2)                                  ==  (1,2)
valor (Sum (Vec 1 2 ) (Vec 3 4))                 ==  (4,6)
valor (Mul 2 (Vec 3 4))                          ==  (6,8)
valor (Mul 2 (Sum (Vec 1 2 ) (Vec 3 4)))         ==  (8,12)
valor (Sum (Mul 2 (Vec 1 2)) (Mul 2 (Vec 3 4)))  ==  (8,12)

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Expresiones aritmética normalizadas cuyo enunciado es

El siguiente tipo de dato representa expresiones construidas con variables, sumas y productos

data Expr = Var String
          | S Expr Expr
          | P Expr Expre
  deriving Show

Por ejemplo, x.(y+z) se representa por (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))).

Una expresión es un término si es un producto de variables. Por ejemplo, x.(y.z) es un término pero x+(y.z) ni x.(y+z) lo son.

Una expresión está en forma normal si es una suma de términos. Por ejemplo, x.(y,z) y x+(y.z) está en forma normal; pero x.(y+z) y (x+y).(x+z) no lo están.

Definir las funciones

esTermino :: Expr -> Bool
esNormal  :: Expr -> Bool

tales que

• (esTermino a) se verifica si a es un término. Por ejemplo,

esTermino (V "x")                                    == True
esTermino (P (V "x") (P (V "y") (V "z")))            == True
esTermino (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))            == False
esTermino (S (V "x") (P (V "y") (V "z")))            == False

• (esNormal a) se verifica si a está en forma normal. Por ejemplo,

esNormal (V "x")                                     == True
esNormal (P (V "x") (P (V "y") (V "z")))             == True
esNormal (S (V "x") (P (V "y") (V "z")))             == True
esNormal (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))             == False
esNormal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "y") (V "z"))) == False

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Acrónimos cuyo enunciado es

A partir de una palabra de puede formar un acrónimo uniendo un prefijo de la primera con un sufijo de la segunda. Por ejemplo,

• "ofimática" es un acrónimo de "oficina" e "informática"
• "informática" es un acrónimo de "información" y "automática"
• "teleñeco" es un acrónimo de "televisión" y "muñeco"

Definir la función

esAcronimo :: String -> String -> String -> Bool

tal que (esAcronimo xs ys zs) se verifica si xs es un acrónimo de ys y zs. Por ejemplo,

esAcronimo "ofimatica" "oficina" "informatica"       ==  True
esAcronimo "informatica" "informacion" "automatica"  ==  True

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Particiones de longitud fija cuyo enunciado es

Definir la función

particionesFijas :: Int -> Int -> [[Int]]

tal que (particionesFijas n k) es la lista de listas de k números enteros positivos no crecientes cuya suma es el número entero positivo n. Por ejemplo,

λ> particionesFijas 8 2
[[4,4],[5,3],[6,2],[7,1]]
λ> particionesFijas 8 3
[[3,3,2],[4,2,2],[4,3,1],[5,2,1],[6,1,1]]
λ> particionesFijas 9 3
[[3,3,3],[4,3,2],[4,4,1],[5,2,2],[5,3,1],[6,2,1],[7,1,1]]
λ> length (particionesFijas 67 5)
8056

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Evaluación de árboles de expresiones aritméticas cuyo enunciado es

Las expresiones aritméticas se pueden representar como árboles con números en las hojas y operaciones en los nodos. Por ejemplo, la expresión 9-2*4 se puede representar por el árbol

  -
 / \
9   *
   / \
  2   4

Definiendo el tipo de dato Arbol por

data Arbol = H Int | N (Int -> Int -> Int) Arbol Arbol

la representación del árbol anterior es

N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4))

Definir la función

valor :: Arbol -> Int

tal que (valor a) es el valor de la expresión aritmética correspondiente al árbol a. Por ejemplo,

valor (N (-) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4)))  ==  1
valor (N (+) (H 9) (N (*) (H 2) (H 4)))  ==  17
valor (N (+) (H 9) (N div (H 4) (H 2)))  ==  11
valor (N (+) (H 9) (N max (H 4) (H 2)))  ==  13

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Aplicaciones alternativas cuyo enunciado es

Definir la función

alternativa :: (a -> b) -> (a -> b) -> [a] -> [b]

tal que (alternativa f g xs) es la lista obtenida aplicando alternativamente las funciones f y g a los elementos de xs. Por ejemplo,

alternativa (+1)  (+10) [1,2,3,4]    ==  [2,12,4,14]
alternativa (+10) (*10) [1,2,3,4,5]  ==  [11,20,13,40,15]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Repetición cíclica cuyo enunciado es

Definir la función

ciclica :: [a] -> [a]

tal que (ciclica xs) es la lista obtenida repitiendo cíclicamente los elementos de la lista no vacía xs. Por ejemplo,

take 10 (ciclica [3,5])    ==  [3,5,3,5,3,5,3,5,3,5]
take 10 (ciclica [3,5,7])  ==  [3,5,7,3,5,7,3,5,7,3]
take 10 (ciclica [3,5..])  ==  [3,5,7,9,11,13,15,17,19,21]

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Elemento común en menor posición cuyo enunciado es

Definir la función

elemento :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]

tal que (elemento xs ys) es la lista formada por el elemento común a xs e ys con la menor posición global (considerando su posición en ambas listas). Por ejemplo.

elemento [3,7,6,9,8,0] [5,4,2,7,8,6,9]  ==  [7]
elemento [3,7,6,9] [9,5,6]              ==  [9]
elemento [5,3,6] [7,6,3]                ==  [3]
elemento [0,1,3] [3,1]                  ==  [3]
elemento [0,3,2] [1,2,3]                ==  [3]
elemento [3,7,6,3,8,0] [5,4,9,1,4,2,1]  ==  []
elemento [2,3,5] [7,4]                  ==  []

Nota: Como se observa en el 3ª ejemplo, en el caso de que un elemento x de xs pertenezca a ys y el elemento de ys en la misma posición que x pertenezca a xs, se elige como el de menor posición el de xs.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Cuantificadores sobre listas cuyo enunciado es

Definir la función

verificaP :: (a -> Bool) -> [[a]] -> Bool

tal que (verificaP p xs) se verifica si cada elemento de la lista xss contiene algún elemento que cumple el predicado p. Por ejemplo,

verificaP odd [[1,3,4,2], [4,5], [9]] == True
verificaP odd [[1,3,4,2], [4,8], [9]] == False

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Inversa a trozos cuyo enunciado es

Definir la función

inversa :: Int -> [a] -> [a]

tal que (inversa k xs) es la lista obtenida invirtiendo elementos de xs, k elementos cada vez. Si el número de elementos de xs no es un múltiplo de k, entonces los finales elementos de xs se dejen sin invertir. Por ejemplo,

inversa 3 [1..11]  ==  [3,2,1,6,5,4,9,8,7,10,11]
inversa 4 [1..11]  ==  [4,3,2,1,8,7,6,5,9,10,11]

Comprobar con QuickCheck que la función inversa es involutiva; es decir, para todo número k > 0 y toda lista xs, se tiene que (inversa k (inversa k xs)) es igual a xs.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Mínimos locales cuyo enunciado es

Un mínimo local de una lista es un elemento de la lista que es menor que su predecesor y que su sucesor en la lista. Por ejemplo, 1 es un mínimo local de [3,2,1,3,7,7,1,0,2] ya que es menor que 2 (su predecesor) y que 3 (su sucesor).

Definir la función

minimosLocales :: Ord a => [a] -> [a]

tal que (minimosLocales xs) es la lista de los mínimos locales de la lista xs. Por ejemplo,

minimosLocales [3,2,1,3,7,7,9,6,8]  ==  [1,6]
minimosLocales [1..100]             ==  []
minimosLocales "mqexvzat"           ==  "eva"

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Pequeño test de inteligencia cuyo enunciado es

Recientemente se publicó en la Red un pequeño test de inteligencia cuyo objetivo consistía en descubrir una función a partir de una colección de ejemplos. Los ejemplos eran los siguientes

f 6  4 == 210
f 9  2 == 711
f 8  5 == 313
f 5  2 == 37
f 7  6 == 113
f 9  8 == 117
f 10 6 == 416
f 15 3 == 1218

Definir la función

f :: Int -> Int -> Int

tal que f cubra los ejemplos anteriores y la definición de f sea lo más corta posible (en número de palabras).

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Mayores elementos de una matriz cuyo enunciado es

Las matrices se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, la matriz

|3 2 5|
|4 9 7|

se puede representar por [[3,2,5],[4,9,7]].

Definir la función

mayores :: Ord a => Int -> [[a]] -> [(a,Int)]

tal que (mayores n xss) es la lista de los n mayores elementos de la matriz xss junto con sus correspondientes número de fila. Por ejemplo,

λ> mayores 4 [[4,26,9],[2,37,53],[41,1,8]]
[(53,2),(41,3),(37,2),(26,1)]

Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de (mayores n xss) son mayores o iguales que los restantes elementos de xss.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Último dígito no nulo del factorial cuyo enunciado es

El factorial de 7 es

7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040

por tanto, el último dígito no nulo del factorial de 7 es 4.

Definir la función

ultimoNoNuloFactorial :: Integer -> Integer

tal que (ultimoNoNuloFactorial n) es el último dígito no nulo del factorial de n. Por ejemplo,

ultimoNoNuloFactorial  7  == 4
ultimoNoNuloFactorial 10  == 8
ultimoNoNuloFactorial 12  == 6
ultimoNoNuloFactorial 97  == 2
ultimoNoNuloFactorial  0  == 1

Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 4, entonces el último dígito no nulo del factorial de n es par.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Repetición de elementos cuyo enunciado es

Definir la función

repiteElementos :: Int -> [a] -> [a]

tal que (repiteElementos k xs) es la lista obtenida repitiendo k veces cada elemento de xs. Por ejemplo,

repiteElementos 3 [5,2,7,4]  ==  [5,5,5,2,2,2,7,7,7,4,4,4]

Comprobar con QuickCheck que, para todo número natural k y toda lista xs, el número de elementos de (repiteElementos k xs) es k veces el número de elementos de xs.

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Conjunto de primos relativos cuyo enunciado es

Dos números enteros son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.

Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3

Definir la función

primosRelativos :: [Int] -> Bool

tal que (primosRelativos xs) se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,

primosRelativos [6,35]         ==  True
primosRelativos [6,27]         ==  False
primosRelativos [2,3,4]        ==  False
primosRelativos [6,35,11]      ==  True
primosRelativos [6,35,11,221]  ==  True
primosRelativos [6,35,11,231]  ==  False

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Precio total cuyo enunciado es

Una función de precio determina el precio de cada elemento; por ejemplo,

precioCI :: String -> Int
precioCI "leche"       = 10
precioCI "mantequilla" = 18
precioCI "patatas"     = 22
precioCI "chocolate"   = 16

Definir la función

precioTotal :: (String -> Int) -> [String] -> Int

tal que (precioTotal f xs) es el precio total de los elementos de xs respecto de la función de precio f. Por ejemplo,

precioTotal precioCI ["leche", "leche", "mantequilla"]  ==  38
precioTotal precioCI ["chocolate", "mantequilla"]       ==  34

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Extensión de un fichero cuyo enunciado es

La extensión de un fichero es la palabra a continuación del último punto en el nombre del fichero. Por ejemplo, la extensión de "documento.txt" es "txt"

Definir la función

extension :: String -> String

tal que (extension cs) es la extensión del fichero cs. Por ejemplo,

extension "ejercicio.hs"       ==  "hs"
extension "documento.txt"      ==  "txt"
extension "documento.txt.pdf"  ==  "pdf"
extension "resumen"            ==  ""

Nota: Puedes consultar las soluciones aquí.

He actualizado las soluciones del ejercicio Distancia de Hamming cuyo enunciado es

La distancia de Hamming entre dos listas es el número de posiciones en que los correspondientes elementos son distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba" es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).

Definir la función

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int

tal que (distancia xs ys) es la distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,

distancia "romano" "comino"  ==  2
distancia "romano" "camino"  ==  3
distancia "roma"   "comino"  ==  2
distancia "roma"   "camino"  ==  3
distancia "romano" "ron"     ==  1
distancia "romano" "cama"    ==  2
distancia "romano" "rama"    ==  1

Comprobar con QuickCheck si la distancia de Hamming tiene la siguiente propiedad

distancia(xs,ys) = 0 si, y sólo si, xs = ys

y, en el caso de que no se verifique, modificar ligeramente propiedad para obtener una condición necesaria y suficiente de distancia(xs,ys) = 0.

He actualizado las soluciones del ejercicio Rompecabeza matemático cuyo enunciado es

Definir una función

f :: Int -> Int

tal que para todo n, f(f(n)) = -n y comprobar con QuickCheck que se cumple la propiedad

prop_f :: Int -> Bool
prop_f n = f (f n) == -n

es decir,

λ> quickCheck prop_f
+++ OK, passed 100 tests.

He actualizado las soluciones del ejercicio Suma de todos los anteriores cuyo enunciado es

Definir la función

sumaAnteriores :: [Integer] -> Bool

tal que (sumaAnteriores xs) se verifica si cada elemento de la lista xs (excepto el primero) es la suma de sus anteriores elementos en la lista. Por ejemplo,

sumaAnteriores [3,3,6,12]  ==  True
sumaAnteriores [3,3,7,10]  ==  False
sumaAnteriores [3]         ==  True
sumaAnteriores []          ==  True

He actualizado las soluciones del ejercicio Máximo de una función cuyo enunciado es

Se considera la siguiente función

g :: Integer -> Integer
g n = if n < 10 then n*n else n