Definir la función
minimales :: Ord a => [[a]] -> [[a]]
tal que (minimales xss) es la lista de los elementos de xss que no están contenidos en otros elementos de xss. Por ejemplo,
minimales [[1,3],[2,3,1],[3,2,5]] == [[2,3,1],[3,2,5]] minimales [[1,3],[2,3,1],[3,2,5],[3,1]] == [[2,3,1],[3,2,5]] map sum (minimales [[1..n] | n <- [1..300]]) == [45150]
Nota: Escribir las soluciones en Haskell y en Python.
Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la función
sumaAmigosMenores :: Integer -> Integer
tal que (sumaAmigosMenores n) es la suma de los números amigos menores que n. Por ejemplo,
sumaAmigosMenores 2000 == 2898 sumaAmigosMenores (10^5) == 852810
Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la lista
sucesionAmigos :: [(Integer,Integer)]
cuyos elementos son los pares de números amigos con la primera componente menor que la segunda. Por ejemplo,
take 4 sucesionAmigos == [(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564)] sucesionAmigos6 !! 20 == (185368,203432)
Dos números amigos son dos números enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.
Definir la función
amigos :: Integer -> Integer -> Bool
tal que (amigos x y) se verifica si los números x e y son amigos. Por ejemplo,
amigos 220 284 == True amigos 220 23 == False amigos 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 == True
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
3 7 4 2 4 6 8 5 9 3
se representa por
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
Definir la función
maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer
tal que (maximaSuma xss) es el máximo de las sumas de los elementos de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
maximaSuma [[3],[7,4]] == 10 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]] == 14 maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] == 23 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]] == 10100 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]] == 1001000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]] == 4002000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]] == 9003000 maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]] == 16004000
Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo
3
7 4
2 4 6
8 5 9 3
se representa por
[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
Definir la función
caminos :: [[a]] -> [[a]]
tal que (caminos xss) es la lista de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,
λ> caminos [[3],[7,4]] [[3,7],[3,4]] λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6]] [[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]] λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] [[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],[3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]]
Se considera la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:
Dado un número cualquiera, podemos calcular su órbita; es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita de 13 es
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...
Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número con el que comencemos. Ejemplos:
Definir la función
mayoresGeneradores :: Integer -> [Integer]
tal que (mayoresGeneradores n) es la lista de los números menores o iguales que n cuyas órbitas de Collatz son las de mayor longitud. Por ejemplo,
mayoresGeneradores 20 == [18,19] mayoresGeneradores (10^6) == [837799]
Una terna pitagórica es una terna de números naturales \((a,b,c)\) tal que \(a<b<c\) y \(a^2+b^2=c^2\). Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica.
Definir la función
ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
tal que (ternasPitagoricas x) es la lista de las ternas pitagóricas cuya suma es x. Por ejemplo,
ternasPitagoricas 12 == [(3,4,5)] ternasPitagoricas 60 == [(10,24,26),(15,20,25)] ternasPitagoricas (10^6) == [(218750,360000,421250),(200000,375000,425000)]
Los números naturales menores que 10 que son múltiplos de 3 ó 5 son 3, 5, 6 y 9. La suma de estos múltiplos es 23.
Definir la función
sumaMultiplos :: Integer -> Integer
tal que (sumaMultiplos n) es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que n. Por ejemplo,
sumaMultiplos 10 == 23 sumaMultiplos (10^2) == 2318 sumaMultiplos (10^3) == 233168 sumaMultiplos (10^4) == 23331668 sumaMultiplos (10^5) == 2333316668 sumaMultiplos (10^6) == 233333166668 sumaMultiplos (10^7) == 23333331666668
Un número n es abundante si la suma de divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.
Definir la sucesión
sumasDeDosAbundantes :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,
take 10 sumasDeDosAbundantes == [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50]