Definir la función
numeroDivisores :: Integer -> Integer
tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,
numeroDivisores 12 == 6 numeroDivisores 25 == 3 length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4]))) == 1948
Definir la función
divisores :: Integer -> [Integer]
tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de los x. Por ejemplo,
divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30] length (divisores (product [1..10])) == 270 length (divisores (product [1..25])) == 340032
Definir la función
esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool
tal que esPotenciaDeDos n se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.
esPotenciaDeDos 1 == True esPotenciaDeDos 2 == True esPotenciaDeDos 6 == False esPotenciaDeDos 8 == True esPotenciaDeDos 1024 == True esPotenciaDeDos 1026 == False esPotenciaDeDos (2^(10^8)) == True
Una partición de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.
Definir la función
particiones :: Int -> [[Int]]
tal que particiones n es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,
particiones 4 == [[4],[3,1],[2,2],[2,1,1],[1,1,1,1]] particiones 5 == [[5],[4,1],[3,2],[3,1,1],[2,2,1],[2,1,1,1],[1,1,1,1,1]] length (particiones 50) == 204226
El producto escalar de los vectores \([a_1,a_2,...,a_n]\) y \([b_1,b_2,..., b_n]\) es \[ a_1·b_1 + a_2·b_2 + ··· + a_n·b_n \]
Definir la función
menorProductoEscalar :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a
tal que (menorProductoEscalar xs ys) es el mínimo de los productos escalares de las permutaciones de xs y de las permutaciones de ys. Por ejemplo,
menorProductoEscalar [3,2,5] [1,4,6] == 29 menorProductoEscalar [3,2,5] [1,4,-6] == -19 menorProductoEscalar [1..10^2] [1..10^2] == 171700 menorProductoEscalar [1..10^3] [1..10^3] == 167167000 menorProductoEscalar [1..10^4] [1..10^4] == 166716670000 menorProductoEscalar [1..10^5] [1..10^5] == 166671666700000 menorProductoEscalar [1..10^6] [1..10^6] == 166667166667000000
Definir la lista
numerosConDigitosPrimos :: [Integer]
cuyos elementos son los números con todos sus dígitos primos. Por ejemplo,
λ> take 22 numerosConDigitosPrimos [2,3,5,7,22,23,25,27,32,33,35,37,52,53,55,57,72,73,75,77,222,223] λ> numerosConDigitosPrimos !! (10^7) 322732232572
Los primeros números de Fibonacci son
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
tales que los dos primeros son iguales a 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.
El teorema de Zeckendorf establece que entero positivo n se puede representar, de manera única, como la suma de números de Fibonacci no consecutivos decrecientes. Dicha suma se llama la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo, la representación de Zeckendorf de 100 es
100 = 89 + 8 + 3
Hay otras formas de representar 100 como sumas de números de Fibonacci; por ejemplo,
100 = 89 + 8 + 2 + 1 100 = 55 + 34 + 8 + 3
pero no son representaciones de Zeckendorf porque 1 y 2 son números de Fibonacci consecutivos, al igual que 34 y 55.
Definir la función
zeckendorf :: Integer -> [Integer]
tal que (zeckendorf n) es la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo,
zeckendorf 100 == [89,8,3] zeckendorf 200 == [144,55,1] zeckendorf 300 == [233,55,8,3,1] length (zeckendorf (10^50000)) == 66097
Los números triangulares se forman como sigue
* * * * * * * * * * 1 3 6
La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son
1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Definir la función
descomposicionesTriangulares :: Int -> [(Int, Int, Int)]
tal que descomposicionesTriangulares n es la lista de las ternas correspondientes a las descomposiciones de n en tres sumandos, como máximo, formados por números triangulares. Por ejemplo,
λ> descomposicionesTriangulares3 4 [] λ> descomposicionesTriangulares3 5 [(1,1,3)] λ> descomposicionesTriangulares3 12 [(1,1,10),(3,3,6)] λ> descomposicionesTriangulares3 30 [(1,1,28),(3,6,21),(10,10,10)] λ> descomposicionesTriangulares3 61 [(1,15,45),(3,3,55),(6,10,45),(10,15,36)] λ> descomposicionesTriangulares3 52 [(1,6,45),(1,15,36),(3,21,28),(6,10,36),(10,21,21)] λ> descomposicionesTriangulares3 82 [(1,3,78),(1,15,66),(1,36,45),(6,10,66),(6,21,55),(10,36,36)] λ> length (descomposicionesTriangulares3 (5*10^5)) 124
Dos números enteros positivos son primos relativos si no tienen ningún factor primo en común; es decir, si 1 es su único divisor común. Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3.
Definir la función
primosRelativos :: [Int] -> Bool
tal que primosRelativos xs se verifica si los elementos de xs son primos relativos dos a dos. Por ejemplo,
primosRelativos [6,35] == True primosRelativos [6,27] == False primosRelativos [2,3,4] == False primosRelativos [6,35,11] == True primosRelativos [6,35,11,221] == True primosRelativos [6,35,11,231] == False
La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.
Definir la función
diferenciaSimetrica :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
tal que diferenciaSimetrica xs ys es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,
diferenciaSimetrica [2,5,3] [4,2,3,7] == [4,5,7] diferenciaSimetrica [2,5,3] [5,2,3] == [] diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,3,7] == [3,4,5,7] diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,4,7] == [4,5,7] diferenciaSimetrica [2,5,2,4] [4,2,4,7] == [5,7]