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Diferencia simétrica

Misceláneas

La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.

Definir la función

   diferenciaSimetrica :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

tal que diferenciaSimetrica xs ys es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,

   diferenciaSimetrica [2,5,3] [4,2,3,7]    ==  [4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,3] [5,2,3]      ==  []
   diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,3,7]    ==  [3,4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,2] [4,2,4,7]    ==  [4,5,7]
   diferenciaSimetrica [2,5,2,4] [4,2,4,7]  ==  [5,7]

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Matrices de Toepliz

Misceláneas

Una matriz de Toeplitz es una matriz cuadrada que es constante a lo largo de las diagonales paralelas a la diagonal principal. Por ejemplo,

   |2 5 1 6|       |2 5 1 6|
   |4 2 5 1|       |4 2 6 1|
   |7 4 2 5|       |7 4 2 5|
   |9 7 4 2|       |9 7 4 2|

la primera es una matriz de Toeplitz y la segunda no lo es.

Las anteriores matrices se pueden definir por

   ej1, ej2 :: Array (Int,Int) Int
   ej1 = listArray ((1,1),(4,4)) [2,5,1,6,4,2,5,1,7,4,2,5,9,7,4,2]
   ej2 = listArray ((1,1),(4,4)) [2,5,1,6,4,2,6,1,7,4,2,5,9,7,4,2]

Definir la función

   esToeplitz :: Eq a => Array (Int,Int) a -> Bool

tal que esToeplitz p se verifica si la matriz p es de Toeplitz. Por ejemplo,

   esToeplitz ej1  ==  True
   esToeplitz ej2  ==  False

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Diagonales principales de una matriz

Misceláneas

La lista de las diagonales principales de la matriz

   1  2  3  4
   5  6  7  8
   9 10 11 12

es

   [[9],[5,10],[1,6,11],[2,7,12],[3,8],[4]]

Definir la función

   diagonalesPrincipales :: Array (Int,Int) a -> [[a]]

tal que diagonalesPrincipales p es la lista de las diagonales principales de p. Por ejemplo,

   λ> diagonalesPrincipales (listArray ((1,1),(3,4)) [1..12])
   [[9],[5,10],[1,6,11],[2,7,12],[3,8],[4]]

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Posiciones de las diagonales principales

Misceláneas

Las posiciones de una matriz con 3 filas y 4 columnas son

   (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
   (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
   (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)

La posiciones de sus 6 diagonales principales son

  [(3,1)]
  [(2,1),(3,2)]
  [(1,1),(2,2),(3,3)]
  [(1,2),(2,3),(3,4)]
  [(1,3),(2,4)]
  [(1,4)]

Definir la función

   posicionesDiagonalesPrincipales :: Int -> Int -> [[(Int, Int)]]

tal que posicionesdiagonalesprincipales m n es la lista de las posiciones de las diagonales principales de una matriz con m filas y n columnas. Por ejemplo,

  λ> mapM_ print (posicionesDiagonalesPrincipales 3 4)
  [(3,1)]
  [(2,1),(3,2)]
  [(1,1),(2,2),(3,3)]
  [(1,2),(2,3),(3,4)]
  [(1,3),(2,4)]
  [(1,4)]
  λ> mapM_ print (posicionesDiagonalesPrincipales 4 4)
  [(4,1)]
  [(3,1),(4,2)]
  [(2,1),(3,2),(4,3)]
  [(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)]
  [(1,2),(2,3),(3,4)]
  [(1,3),(2,4)]
  [(1,4)]
  λ> mapM_ print (posicionesDiagonalesPrincipales 4 3)
  [(4,1)]
  [(3,1),(4,2)]
  [(2,1),(3,2),(4,3)]
  [(1,1),(2,2),(3,3)]
  [(1,2),(2,3)]
  [(1,3)]

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Números triangulares con n cifras distintas

Misceláneas

Los números triangulares se forman como sigue

   *     *      *
        * *    * *
              * * *
   1     3      6

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son

    1 = 1
    3 = 1 + 2
    6 = 1 + 2 + 3
   10 = 1 + 2 + 3 + 4
   15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Definir la función

   triangularesConCifras :: Int -> [Integer]

tal que triangularesConCifras n es la lista de los números triangulares con n cifras distintas. Por ejemplo,

   take 6 (triangularesConCifras 1)   ==  [1,3,6,55,66,666]
   take 6 (triangularesConCifras 2)   ==  [10,15,21,28,36,45]
   take 6 (triangularesConCifras 3)   ==  [105,120,136,153,190,210]
   take 5 (triangularesConCifras 4)   ==  [1035,1275,1326,1378,1485]
   take 2 (triangularesConCifras 10)  ==  [1062489753,1239845706]

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Numeración de las ternas de números naturales

Misceláneas

Las ternas de números naturales se pueden ordenar como sigue

   (0,0,0),
   (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),
   (0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(2,0,0),
   (0,0,3),(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0),(1,0,2),(1,1,1),(1,2,0),(2,0,1),...
   ...

Definir la función

   posicion :: (Int,Int,Int) -> Int

tal que posicion (x,y,z) es la posición de la terna de números naturales (x,y,z) en la ordenación anterior. Por ejemplo,

   posicion (0,1,0)  ==  2
   posicion (0,0,2)  ==  4
   posicion (0,1,1)  ==  5

Comprobar con QuickCheck que

  • la posición de (x,0,0) es x(x²+6x+11)/6
  • la posición de (0,y,0) es y(y²+3y+ 8)/6
  • la posición de (0,0,z) es z(z²+3z+ 2)/6
  • la posición de (x,x,x) es x(9x²+14x+7)/2

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Primos equidistantes

Misceláneas

Definir la función

   primosEquidistantes :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que primosEquidistantes k es la lista de los pares de primos cuya diferencia es k. Por ejemplo,

   take 3 (primosEquidistantes 2)  ==  [(3,5),(5,7),(11,13)]
   take 3 (primosEquidistantes 4)  ==  [(7,11),(13,17),(19,23)]
   take 3 (primosEquidistantes 6)  ==  [(23,29),(31,37),(47,53)]
   take 3 (primosEquidistantes 8)  ==  [(89,97),(359,367),(389,397)]
   primosEquidistantes 4 !! (10^5) ==  (18467047,18467051)

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Números amigos

Misceláneas

Dos números amigos son dos números positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.

Definir la función

   amigos :: Integer -> Integer -> Bool

tal que amigos x y se verifica si los números x e y son amigos. Por ejemplo,

   amigos 220 284 == True
   amigos 220 23  == False
   amigos 9967523980 12890541236 == True

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Máxima suma de caminos en un triángulo

Misceláneas

Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo

      3
     7 4
    2 4 6
   8 5 9 3

se representa por

   [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

Definir la función

   maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer

tal que (maximaSuma xss) es el máximo de las sumas de los de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,

   maximaSuma [[3],[7,4]]                    ==  10
   maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]]            ==  14
   maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]  ==  23
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]]     ==  10100
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]]    ==  1001000
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]]    ==  4002000
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]]    ==  9003000
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]]    ==  16004000

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Caminos en un triángulo

Misceláneas

Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo

      3
     7 4
    2 4 6
   8 5 9 3

se representa por

   [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

Definir la función

   caminos :: [[a]] -> [[a]]

tal que (caminos xss) es la lista de los caminos en el triángulo, donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,

   λ> caminos [[3],[7,4]]
   [[3,7],[3,4]]
   λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6]]
   [[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]]
   λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
   [[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],
    [3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]]

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