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Suma de divisores

Misceláneas

Definir las funciones

divisores     :: Integer -> [Integer]
sumaDivisores :: Integer -> Integer

tales que

  • (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,
divisores 12  ==  [1,2,3,4,6,12]
divisores 25  ==  [1,5,25]
length (divisores (product [1..12]))  ==  792
length (divisores 131535436245601)    ==  32
  • (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,
sumaDivisores 12  ==  28
sumaDivisores 25  ==  31
sumaDivisores (product [1..12])  ==  2217441408
sumaDivisores 131535436245601    ==  132534784471040

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Números dígito potenciales

Misceláneas

Un número entero x es dígito potencial de orden n si x es la suma de los dígitos de x elevados a n. Por ejemplo,

  • 153 es un dígito potencial de orden 3 ya que 153 = 1^3+5^3+3^3
  • 4150 es un dígito potencial de orden 5 ya que 4150 = 4^5+1^5+5^5+0^5

Un número x es dígito auto potencial si es un dígito potencial de orden n, donde n es el número de dígitos de n. Por ejemplo, 153 es un número dígito auto potencial.

Definir las funciones

digitosPotencialesOrden :: Integer -> [Integer]
digitosAutoPotenciales  :: [Integer]

tales que

  • (digitosPotencialesOrden n) es la lista de los números dígito potenciales de orden n. Por ejemplo,
take 6 (digitosPotencialesOrden 3)  ==  [0,1,153,370,371,407]
take 5 (digitosPotencialesOrden 4)  ==  [0,1,1634,8208,9474]
take 8 (digitosPotencialesOrden 5)  ==  [0,1,4150,4151,54748,92727,93084,194979]
take 3 (digitosPotencialesOrden 6)  ==  [0,1,548834]
  • digitosAutoPotenciales es la lista de los números dígito auto potenciales. Por ejemplo,
λ> take 20 digitosAutoPotenciales
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,153,370,371,407,1634,8208,9474,54748,92727,93084]

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Mayor número equidigital

Misceláneas

Definir la función

mayorEquidigital :: Integer -> Integer

tal que (mayorEquidigital x) es el mayor número que se puede contruir con los dígitos de x. Por ejemplo,

mayorEquidigital 13112017  ==  73211110
mayorEquidigital2 (2^100)  ==  9987776666655443322222211000000

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Números oblongos

Misceláneas

Un número oblongo es un número que es el producto de dos números naturales consecutivos; es decir, n es un número oblongo si existe un número natural x tal que n = x(x+1). Por ejemplo, 42 es un número oblongo porque 42 = 6 x 7.

Definir las funciones

esOblongo :: Integer -> Bool
oblongos  :: [Integer]

tales que

  • (esOblongo n) se verifica si n es oblongo. Por ejemplo,
esOblongo 42               ==  True
esOblongo 40               ==  False
esOblongo 100000010000000  ==  True
  • oblongos es la suceción de los números oblongos. Por ejemplo,
take 15 oblongos   == [0,2,6,12,20,30,42,56,72,90,110,132,156,182,210]
oblongos !! 50     == 2550
oblongos !! (10^7) == 100000010000000

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Pares definidos por su MCD y su MCM

Misceláneas

Definir las siguientes funciones

pares  :: Integer -> Integer -> [(Integer,Integer)]
nPares :: Integer -> Integer -> Integer

tales que

  • (pares a b) es la lista de los pares de números enteros positivos tales que su máximo común divisor es a y su mínimo común múltiplo es b. Por ejemplo,
pares 3 3  == [(3,3)]
pares 4 12 == [(4,12),(12,4)]
pares 2 12 == [(2,12),(4,6),(6,4),(12,2)]
pares 2 60 == [(2,60),(4,30),(6,20),(10,12),(12,10),(20,6),(30,4),(60,2)]
pares 2 7  == []
pares 12 3 == []
length (pares 3 (product [3,5..91]))  ==  8388608
  • (nPares a b) es el número de pares de enteros positivos tales que su máximo común divisor es a y su mínimo común múltiplo es b. Por ejemplo,
nPares 3 3   ==  1
nPares 4 12  ==  2
nPares 2 12  ==  4
nPares 2 60  ==  8
nPares 2 7   ==  0
nPares 12 3  ==  0
nPares 3 (product [3..3*10^4]) `mod` (10^12)  ==  477999992832
length (show (nPares 3 (product [3..3*10^4])))  ==  977

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Biparticiones de un número

Misceláneas

Definir la función

biparticiones :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (biparticiones n) es la lista de pares de números formados por las primeras cifras de n y las restantes. Por ejemplo,

biparticiones  2025  ==  [(202,5),(20,25),(2,25)]
biparticiones 10000  ==  [(1000,0),(100,0),(10,0),(1,0)]

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Producto cartesiano de una familia de conjuntos

Misceláneas

Definir la función

producto :: [[a]] -> [[a]]

tal que (producto xss) es el producto cartesiano de los conjuntos xss. Por ejemplo,

λ> producto [[1,3],[2,5]]
[[1,2],[1,5],[3,2],[3,5]]
λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]]
[[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
λ> producto [[1,3,5],[2,4]]
[[1,2],[1,4],[3,2],[3,4],[5,2],[5,4]]
λ> producto []
[[]]

Comprobar con QuickCheck que para toda lista de listas de números enteros, xss, se verifica que el número de elementos de (producto xss) es igual al producto de los números de elementos de cada una de las listas de xss.

Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como se indica a continuación

quickCheckWith (stdArgs {maxSize=9}) prop_producto

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Primos equidistantes

Misceláneas

Definir la función

primosEquidistantes :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que (primosEquidistantes k) es la lista de los pares de primos consecutivos cuya diferencia es k. Por ejemplo,

take 3 (primosEquidistantes 2)     ==  [(3,5),(5,7),(11,13)]
take 3 (primosEquidistantes 4)     ==  [(7,11),(13,17),(19,23)]
take 3 (primosEquidistantes 6)     ==  [(23,29),(31,37),(47,53)]
take 3 (primosEquidistantes 8)     ==  [(89,97),(359,367),(389,397)]
(primosEquidistantes 30) !! 14000  ==  (6557303,6557333)

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Números completos

Misceláneas

Las descomposiciones de un número n son las parejas de números (x,y) tales que x >= y y la suma de las cuatro operaciones básicas (suma, producto, resta (el mayor menos el menor) y cociente (el mayor entre el menor)) es el número n. Por ejemplo, (8,2) es una descomposición de 36 ya que

(8 + 2) + (8 - 2) + (8 * 2) + (8 / 2) = 36

Un número es completo si tiene alguna descomposición como las anteriores. Por ejemplo, el 36 es completo pero el 21 no lo es.

Definir las siguientes funciones

descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]
completos        :: [Integer]

tales que

  • (descomposiciones n) es la lista de las descomposiones de n. Por ejemplo,
descomposiciones 12   ==  [(3,1)]
descomposiciones 16   ==  [(3,3),(4,1)]
descomposiciones 36   ==  [(5,5),(8,2),(9,1)]
descomposiciones 288  ==  [(22,11),(40,5),(54,3),(64,2),(72,1)]
descomposiciones 21   ==  []
  • completos es la lista de los números completos. Por ejemplo,
take 15 completos  ==  [4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44]
completos !! 100   ==  261

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Números libres de cuadrados

Misceláneas

Un número entero positivo es libre de cuadrados si no es divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2^2.

Definir la función

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,

libreDeCuadrados 70                    ==  True
libreDeCuadrados 40                    ==  False
libreDeCuadrados 510510                ==  True
libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10)     ==  False

Otro ejemplo,

λ> filter (not . libreDeCuadrados) [1..50]
[4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44,45,48,49,50]

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