El artículo de esta semana de Antonio Roldán en su blog Números y hoja de cálculo es Máximo producto en la partición de un número (1).

Una partición de un entero positivo n es una forma de descomponer n como suma de enteros positivos. Dos sumas se considerarán iguales si solo difieren en el orden de los sumandos. Por ejemplo, las 11 particiones de 6 (con sus correspondientes productos) son

6 = 6                      |  6                     = 6
6 = 5 + 1                  |  5 x 1                 = 5
6 = 4 + 2                  |  4 x 2                 = 8
6 = 4 + 1 + 1              |  4 x 1 x 1             = 4
6 = 3 + 3                  |  3 x 3                 = 9
6 = 3 + 2 + 1              |  3 x 2 x 1             = 6
6 = 3 + 1 + 1 + 1          |  3 x 1 x 1 x 1         = 3
6 = 2 + 2 + 2              |  2 x 2 x 2             = 8
6 = 2 + 2 + 1 + 1          |  2 x 2 x 1 x 1         = 4
6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1      |  2 x 1 x 1 x 1 x 1     = 2
6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1  |  1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1

Se observa que el máximo producto de las particiones de 6 es 9.

Definir la función

maximoProductoParticiones :: Int -> Int

tal que (maximoProductoParticiones n) es el máximo de los productos de las particiones de n. Por ejemplo,

maximoProductoParticiones 4     ==  4
maximoProductoParticiones 5     ==  6
maximoProductoParticiones 6     ==  9
maximoProductoParticiones 7     ==  12
maximoProductoParticiones 8     ==  18
maximoProductoParticiones 9     ==  27
maximoProductoParticiones 50    ==  86093442
maximoProductoParticiones 100   ==  7412080755407364
maximoProductoParticiones 200   ==  61806308765265224723841283607058
length (show (maximoProductoParticiones (10^7)))  ==  1590405

Comprobar con QuickChek que los únicos posibles factores de (maximoProductoParticiones n) son 2 y 3.

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Un número se dice ondulante si sus cifras alternan entre dos valores. Por ejemplo, 272 es ondulante, así como 2727. El primer cuadrado ondulante no trivial (todos los cuadrados de dos cifras son ondulantes) es 121 = 11^2.

Definir la función

cuadradosOndulantes :: Integer -> [Integer]

tal que (cuadradosOndulantes n) es la lista de los cuadrados ondulantes menores que n^2. Por ejemplo,

λ> cuadradosOndulantes 50000
[0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,121,484,676,69696]

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La persistencia multiplicativa de un número es la cantidad de pasos requeridos para reducirlo a una cifra multiplicando sus dígitos. Por ejemplo, la persistencia de 39 es 3 porque 3×9 = 27, 2×7 = 14 y 1×4 = 4.

Definir las funciones

persistencia     :: Integer -> Integer
menorPersistente :: Integer -> Integer

tales que

• (persistencia x) es la persistencia de x. Por ejemplo,

persistencia 39                             ==   3
persistencia 2677889                        ==   8
persistencia 26888999                       ==   9
persistencia 3778888999                     ==  10
persistencia 277777788888899                ==  11
persistencia 77777733332222222222222222222  ==  11

• (menorPersistente n) es el menor número con persistencia n. Por ejemplo,

menorPersistente 0  ==  1
menorPersistente 1  ==  10
menorPersistente 2  ==  25
menorPersistente 3  ==  39
menorPersistente 4  ==  77
menorPersistente 5  ==  679
menorPersistente 6  ==  6788
menorPersistente 7  ==  68889

Comprobar con QuickCheck si todos los números menores que 10^233 tienen una persistencia multiplicativa menor o igual que 11.

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Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, el 28 es perfecto porque sus divisores propios son 1, 2, 4, 7 y 14 y 1+2+4+7+14 = 28.

Un entero positivo x es un número cojonudo si existe un n tal que n > 0, x = 2^n·(2^(n+1)-1) y 2^(n+1)-1 es primo. Por ejemplo, el 28 es cojonudo ya que para n = 2 se verifica que 2 > 0, 28 = 2^2·(2^3-1) y 2^3-1 = 7 es primo.

Definir la funciones

esPerfecto                      :: Integer -> Bool
esCojonudo                      :: Integer -> Bool
equivalencia_CojonudosPerfectos :: Integer -> Bool

tales que

• (esPerfecto x) se verifica si x es perfecto. Por ejemplo,

esPerfecto 28  ==  True
esPerfecto 30  ==  False

• (esCojonudo x) se verifica si x es cojonudo. Por ejemplo,

esCojonudo 28                   ==  True
esCojonudo 30                   ==  False
esCojonudo 2305843008139952128  ==  True

• (equivalenciaCojonudosPerfectos n) se verifica si para todos los números x menores o iguales que n se tiene que x es perfecto si, y sólo si, x es cojonudo. Por ejemplo,

equivalenciaCojonudosPerfectos 3000  ==  True

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Definir la función

subconjuntosAcotados :: [a] -> Int -> [[a]]

tal que (subconjuntosAcotados xs k) es la lista de los subconjuntos de xs con k elementos como máximo. Por ejemplo,

λ> subconjuntosAcotados "abcd" 1
["a","b","c","d",""]
λ> subconjuntosAcotados "abcd" 2
["ab","ac","ad","a","bc","bd","b","cd","c","d",""]
λ> subconjuntosAcotados "abcd" 3
["abc","abd","ab","acd","ac","ad","a",
 "bcd","bc","bd","b","cd","c","d",""]
λ> length (subconjuntosAcotados [1..1000] 2)
500501
λ> length (subconjuntosAcotados2 [1..2000] 2)
2001001

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La conjetura de Goldbach afirma que

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.

En este ejercicio consideraremos la variación consistente en exigir que los tres sumandos sean distintos.

Definir las funciones

sumas3PrimosDistintos      :: Int -> [(Int,Int,Int)]
conKsumas3PrimosDistintos  :: Int -> Int -> [Int]
noSonSumas3PrimosDistintos :: Int -> [Int]

tales que

• (sumas3PrimosDistintos n) es la lista de las descomposiciones decrecientes de n como tres primos distintos. Por ejemplo,

sumas3PrimosDistintos 26  ==  [(13,11,2),(17,7,2),(19,5,2)]
sumas3PrimosDistintos 18  ==  [(11,5,2),(13,3,2)]
sumas3PrimosDistintos 10  ==  [(5,3,2)]
sumas3PrimosDistintos 11  ==  []

• (conKsumas3PrimosDistintos k n) es la lista de los números menores o iguales que n que se pueden escribir en k forma distintas como suma de tres primos distintos. Por ejemplo,

conKsumas3PrimosDistintos 3 99  ==  [26,27,29,32,36,42,46,48,54,58,60]
conKsumas3PrimosDistintos 2 99  ==  [18,20,21,22,23,24,25,28,30,34,64,70]
conKsumas3PrimosDistintos 1 99  ==  [10,12,14,15,16,19,40]
conKsumas3PrimosDistintos 0 99  ==  [11,13,17]

• (noSonSumas3PrimosDistintos n) es la lista de los números menores o iguales que n que no se pueden escribir como suma de tres primos distintos. Por ejemplo,

noSonSumas3PrimosDistintos 99   ==  [11,13,17]
noSonSumas3PrimosDistintos 500  ==  [11,13,17]

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El artículo de esta semana del blog Números y hoja de cálculo está dedicado a la Conjetura de Rassias. Dicha conjetura afirma que

Para cada número primo p > 2 existen dos primos a y b, con a < b, tales que (p-1)a = b+1

Dado un primo p > 2, los pares de Rassia de p son los pares de primos (a,b), con a < b, tales que (p-1)a = b+1. Por ejemplo, (2,7) y (3,11) son pares de Rassia de 5 ya que

• 2 y 7 son primos, 2 < 7 y (5-1)·2 = 7+1
• 3 y 11 son primos, 3 < 11 y (5-1)·3 = 11+1

Definir las siguientes funciones

paresRassias     :: Integer -> [(Integer,Integer)]
conjeturaRassias :: Integer -> Bool

tales que

• (paresRassias p) es la lista de los pares de Rassias del primo p (que se supone que es mayor que 2). Por ejemplo,

take 3 (paresRassias 5)    == [(2,7),(3,11),(5,19)]
take 3 (paresRassias 1229) == [(71,87187),(113,138763),(191,234547)]

• (conjeturaRassia x) se verifica si para todos los primos menores que x (y mayores que 2) se cumple la conjetura de Rassia. Por ejemplo,

conjeturaRassias (10^5)  ==  True

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Definir la función

primoAnterior :: Integer -> Integer

tal que (primoAnterior n) es el mayor primo menor que n (donde n > 2). Por ejemplo,

primoAnterior 10     ==  7
primoAnterior 17     ==  13
primoAnterior 30     ==  29
primoAnterior 2016   ==  2011
primoAnterior 15726  ==  15683

Calcular el menor número cuya distancia a su primo anterior es mayor que 40.

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Un número primo se dice que es un primo de Kamenetsky si al anteponerlo cualquier dígito se obtiene un número compuesto. Por ejemplo, el 5 es un primo de Kamenetsky ya que 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85 y 95 son compuestos. También lo es 149 ya que 1149, 2149, 3149, 4149, 5149, 6149, 7149, 8149 y 9149 son compuestos.

Definir la sucesión

primosKamenetsky :: [Integer]

tal que sus elementos son los números primos de Kamenetsky. Por ejemplo,

take 5 primosKamenetsky  ==  [2,5,149,401,509]

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Un número de Harshad es un entero divisible entre la suma de sus dígitos. Por ejemplo, 201 es un número de Harshad porque es divisible por 3 (la suma de sus dígitos). Cuando se elimina el último dígito de 201 se obtiene 20 que también es un número de Harshad. Cuando se elimina el último dígito de 20 se obtiene 2 que también es un número de Harshad. Los números como el 201 que son de Harshad y que los números obtenidos eliminando sus últimos dígitos siguen siendo de Harshad se llaman números de Harshad hereditarios por la derecha. Definir la función

numeroHHD :: Int -> Bool

tal que (numeroHHD n) se verifica si n es un número de Harshad hereditario por la derecha. Por ejemplo,

numeroHHD 201  ==  True
numeroHHD 140  ==  False
numeroHHD 1104 ==  False

Calcular el mayor número de Harshad hereditario por la derecha con tres dígitos.

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