Definir la función
ordPorFrecuencia :: Ord a => [a] -> [a]
tal que (ordPorFrecuencia xs) es la lista obtenidas ordenando los elementos de xs por su frecuencia, de los que aparecen menos a los que aparecen más. Por ejemplo,
ordPorFrecuencia "canalDePanama" == "DPcelmnnaaaaa" ordPorFrecuencia "20012016" == "61122000"
El máximo común divisor (mcd) de dos números enteros no negativos se puede calcular mediante un algoritmo binario basado en las siguientes propiedades:
Por ejemplo, el cálculo del mcd(660,420) es
mcd(660,420) = 2*mcd(330,210) [por 1] = 2*2*mcd(165,105) [por 1] = 2*2*mcd(30,105) [por 4] = 2*2*mcd(15,105) [por 2] = 2*2*mcd(15,45) [por 4] = 2*2*mcd(15,15) [por 4] = 2*2*15 [por 8] = 60
Definir la función
mcd :: Integer -> Integer -> Integer
Definir la función
tal que (mcd a b) es el máximo común divisor de a y b calculado mediante el algoritmo binario del mcd. Por ejemplo,
mcd 660 420 == 60 mcd 3 0 == 3 mcd 0 3 == 3
Comprobar con QuickCheck que, para los enteros no negativos, las funciones mcd y gcd son equivalentes.
Definir la función
agrupa :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]]
tal que (agrupa p xs) es la lista obtenida separando los elementos consecutivos de xs que verifican la propiedad p de los que no la verifican. Por ejemplo,
agrupa odd [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2] == [[1],[2,0,4],[9],[6,4],[5,7],[2]] agrupa even [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2] == [[],[1],[2,0,4],[9],[6,4],[5,7],[2]] agrupa (> 4) [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2] == [[],[1,2,0,4],[9,6],[4],[5,7],[2]] agrupa (< 4) [1,2,0,4,9,6,4,5,7,2] == [[1,2,0],[4,9,6,4,5,7],[2]]
Comprobar con QuickCheck que para cualquier propiedad p y cualquier lista xs, la concatenación de (agrupa p xs) es xs; es decir,
prop_agrupa :: Blind (Int -> Bool) -> [Int] -> Bool prop_agrupa (Blind p) xs = concat (agrupa1 p xs) == xs
Nota. Usar la librería Test.QuickCheck.Modifiers.
Definir la sucesión
sumasDeDosPrimos :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo,
λ> take 23 sumasDeDosPrimos [4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,24,25,26,28,30,31]
Los árboles binarios con datos en nodos y hojas se definen por
data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show
Por ejemplo, el árbol
3
/ \
/ \
4 7
/ \ / \
5 0 0 3
/ \
2 0
se representa por
ejArbol :: Arbol Integer ejArbol = N 3 (N 4 (N 5 (H 2)(H 0)) (H 0)) (N 7 (H 0) (H 3))
Definir la función
sucesores :: Arbol a -> [(a,[a])]
tal que (sucesores t) es la lista de los pares formados por los elementos del árbol t junto con sus sucesores. Por ejemplo,
λ> sucesores ejArbol [(3,[4,7]),(4,[5,0]),(5,[2,0]),(2,[]),(0,[]),(0,[]), (7,[0,3]),(0,[]),(3,[])]
Una función f entre dos conjuntos A e B se puede representar mediante una lista de pares de AxB tales que para cada elemento a de A existe un único elemento b de B tal que (a,b) pertenece a f. Por ejemplo,
Definir la función
funciones :: [a] -> [a] -> [[(a,a)]]
tal que (funciones xs ys) es el conjunto de las funciones de xs en ys. Por ejemplo,
λ> funciones [] [2,4,6] [[]] λ> funciones [3] [2,4,6] [[(3,2)],[(3,4)],[(3,6)]] λ> funciones [1,3] [2,4,6] [[(1,2),(3,2)], [(1,2),(3,4)], [(1,2),(3,6)], [(1,4),(3,2)], [(1,4),(3,4)], [(1,4),(3,6)], [(1,6),(3,2)], [(1,6),(3,4)], [(1,6),(3,6)]]
Comprobar con QuickCheck que si xs es un conjunto con n elementos e ys un conjunto con m elementos, entonces (funciones xs ys) tiene m^n elementos.
Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como se indica a continuación
λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_funciones +++ OK, passed 100 tests.
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]
Definir la lista
serieThueMorse :: [[Integer]]
tal que sus elementos son los términos de la serie de Thue-Morse. Por ejemplo,
λ> take 4 serieThueMorse [[0],[0,1],[0,1,1,0],[0,1,1,0,1,0,0,1]]
Comprobar con QuickCheck que cada término de la serie de Thue-Morse se obtiene del anterior sustituyendo los 1 por 1, 0 y los 0 por 0, 1.
Definir la función
primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas :: Int -> [[Integer]]
tal que (primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas k) es la sucesión de lista de k primos consecutivos tales que las sumas ordenadas de sus dígitos también son primos consecutivos. Por ejemplo,
λ> take 5 (primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas 2) [[2,3],[3,5],[5,7],[41,43],[43,47]] λ> take 5 (primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas 3) [[2,3,5],[3,5,7],[41,43,47],[191,193,197],[193,197,199]] λ> take 4 (primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas 4) [[2,3,5,7],[3,5,7,11],[191,193,197,199],[821,823,827,829]] λ> primosConsecutivosConSumasDigitalesPrimas 4 !! 50 [129197,129209,129221,129223]
Un número n es k-belga si la sucesión cuyo primer elemento es k y cuyos elementos se obtienen sumando reiteradamente las cifras de n contiene a n. Por ejemplo,
Definir la función
esBelga :: Int -> Int -> Bool
tal que (esBelga k n) se verifica si n es k-belga. Por ejemplo,
esBelga 0 18 == True esBelga 1 19 == False esBelga 0 2016 == True [x | x <- [0..30], esBelga 7 x] == [7,10,11,21,27,29] [x | x <- [0..30], esBelga 10 x] == [10,11,20,21,22,24,26] length [n | n <- [1..9000], esBelga 0 n] == 2857
Comprobar con QuickCheck que para todo número entero positivo n, si k es el resto de n entre la suma de los dígitos de n, entonces n es k-belga.
Definir la función
antiimagen :: (Int -> Int) -> Int -> Maybe Int
tal que (antiimagen f y) es justo el x tal que f(x) = y, si y pertenece a la imagen de la función creciente f, o nada, en caso contrario. Por ejemplo,
antiimagen (^2) 25 == Just 5 antiimagen (^3) 25 == Nothing
Nota. Se supone que f está definida sobre los números naturales.