En 1772, Euler publicó que el polinomio n² + n + 41 genera 40 números primos para todos los valores de n entre 0 y 39. Sin embargo, cuando n=40, 40²+40+41 = 40(40+1)+41 es divisible por 41.

Usando ordenadores, se descubrió el polinomio n² - 79n + 1601 que genera 80 números primos para todos los valores de n entre 0 y 79.

Definir la función

generadoresMaximales :: Integer -> (Int,[(Integer,Integer)])

tal que (generadoresMaximales n) es el par (m,xs) donde

• xs es la lista de pares (x,y) tales que n²+xn+y es uno de los polinomios que genera un número máximo de números primos consecutivos a partir de cero entre todos los polinomios de la forma n²+an+b, con |a| ≤ n y |b| ≤ n y
• m es dicho número máximo.

Por ejemplo,

generadoresMaximales    4  ==  ( 3,[(-2,3),(-1,3),(3,3)])
generadoresMaximales    6  ==  ( 5,[(-1,5),(5,5)])
generadoresMaximales   50  ==  (43,[(-5,47)])
generadoresMaximales  100  ==  (48,[(-15,97)])
generadoresMaximales  200  ==  (53,[(-25,197)])
generadoresMaximales 1650  ==  (80,[(-79,1601)])

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El triángulo de Floyd, llamado así en honor a Robert Floyd, es un triángulo rectángulo formado con números naturales. Para crear un triángulo de Floyd, se comienza con un 1 en la esquina superior izquierda, y se continúa escribiendo la secuencia de los números naturales de manera que cada línea contenga un número más que la anterior. Las 5 primeras líneas del triángulo de Floyd son

 1
 2   3
 4   5   6
 7   8   9  10
11  12  13  14  15

Definir la función

trianguloFloyd :: [[Integer]]

tal que trianguloFloyd es el triángulo de Floyd. Por ejemplo,

λ> take 4 trianguloFloyd
[[1],
 [2,3],
 [4,5,6],
 [7,8,9,10]]

(trianguloFloyd !! (10^5)) !! 0  ==  5000050001
(trianguloFloyd !! (10^6)) !! 0  ==  500000500001
(trianguloFloyd !! (10^7)) !! 0  ==  50000005000001

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En el artículo Integers as a sum of consecutive primes in 2,3,4,.. ways se presentan números que se pueden escribir como sumas de primos consecutivos de varias formas. Por ejemplo, el 41 se puede escribir de dos formas distintas

41 =  2 +  3 +  5 + 7 + 11 + 13
41 = 11 + 13 + 17

el 240 se puede escribir de tres formas

240 =  17 +  19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43
240 =  53 +  59 + 61 + 67
240 = 113 + 127

y el 311 se puede escribir de 4 formas

311 =  11 +  13 +  17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47
311 =  31 +  37 +  41 + 43 + 47 + 53 + 59
311 =  53 +  59 +  61 + 67 + 71
311 = 101 + 103 + 107

Definir la función

sumas :: Integer -> [[Integer]]

tal que (sumas x) es la lista de las formas de escribir x como suma de dos o más números primos consecutivos. Por ejemplo,

λ> sumas 41
[[2,3,5,7,11,13],[11,13,17]]
λ> sumas 240
[[17,19,23,29,31,37,41,43],[53,59,61,67],[113,127]]
λ> sumas 311
[[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47],[31,37,41,43,47,53,59],[53,59,61,67,71],[101,103,107]]
λ> maximum [length (sumas n) | n <- [1..600]]
4

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Definir la función

actualiza :: [a] -> [(Int,a)] -> [a]

tal que (actualiza xs ps) es la lista obtenida sustituyendo en xs los elementos cuyos índices son las primeras componentes de ps por las segundas. Por ejemplo,

actualiza [3,5,2,4] [(2,1),(0,7)]  ==  [7,5,1,4]
sum (actualiza2 [1..10^4] [(i,2*i) | i <- [0..10^4-1]]) == 99990000

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El orden de divisibilidad de un número x es el mayor n tal que para todo i menor o igual que n, los i primeros dígitos de n es divisible por i. Por ejemplo, el orden de divisibilidad de 74156 es 3 porque

7       es divisible por 1
74      es divisible por 2
741     es divisible por 3
7415 no es divisible por 4

Definir la función

ordenDeDivibilidad :: Integer -> Int

tal que (ordenDeDivibilidad x) es el orden de divisibilidad de x. Por ejemplo,

ordenDeDivibilidad 74156                      ==  3
ordenDeDivibilidad 3608528850368400786036725  ==  25

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Una propiedad del número 24 es que entre los números menores o iguales que 24 hay la misma cantidad de números con el dígito 1 que sin el 1; en efecto, los que tienen 1 son

[1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21]

y los que no lo tienen son

[2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 20, 22, 23, 24]

Diremos que un número es especial si cumple dicha propiedad.

Definir la sucesión

especiales :: [Integer]

cuyos elementos son los números especiales. Por ejemplo,

take 10 especiales  ==  [2,16,24,160,270,272,1456,3398,3418,3420]

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Los caminos en los árboles binarios

    .          .
   / \        / \
  .   .      /   \
 / \        .     .
.   .      / \   / \
          .   . .   .

son [[I,I],[I,D],[D]] y [[I,I],[I,D],[D,I],[D,D]], donde I indica un movimiento hacia la izquierda y D uno hacia la derecha.

Los árboles binarios se pueden representar por

data Arbol = H | N Arbol Arbol

los movimientos por

data Mov    = I | D deriving Show

y los caminos por

type Camino = [Mov]

Definir la función

caminos :: Arbol -> [Camino]

tal que (caminos a) es la lista de los caminos en el árbol binario a. Por ejemplo,

caminos (N (N H H) H)             == [[I,I],[I,D],[D]]
caminos (N (N H H) (N H H))       == [[I,I],[I,D],[D,I],[D,D]]
caminos (N H (N (N H H) (N H H))) == [[I],[D,I,I],[D,I,D],[D,D,I],[D,D,D]]

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Sea S un conjunto de números. Las listas de ceros emparejados de S son las listas formadas con los elementos de S y en las cuales los ceros aparecen en sublistas de longitud par. Por ejemplo, si S = {0,1,2} entonces [1], [2], [2,1], [2,0,0,2,0,0,1] y [0,0,0,0,1,2] son listas de ceros emparejados de S; pero [0,0,0,2,1,0,0] y [0,0,1,0,1] no lo son.

Definir las funciones

cerosEmparejados  :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
nCerosEmparejados :: Integer -> Integer -> Integer

tales que + (cerosEmparejados m n) es la lista de las listas de longitud n de ceros emparejados con los números 0, 1, 2,..., m. Por ejemplo,

λ> cerosEmparejados 2 0
[[]]
λ> cerosEmparejados 2 1
[[1],[2]]
λ> cerosEmparejados 3 1
[[1],[2],[3]]
λ> cerosEmparejados 2 2
[[1,1],[1,2],[2,1],[2,2],[0,0]]
λ> cerosEmparejados 2 3
[[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[1,0,0],[2,1,1],[2,1,2],
 [2,2,1],[2,2,2],[2,0,0],[0,0,1],[0,0,2]]
λ> cerosEmparejados 2 4
[[1,1,1,1],[1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,1,2,2],[1,1,0,0],[1,2,1,1],
 [1,2,1,2],[1,2,2,1],[1,2,2,2],[1,2,0,0],[1,0,0,1],[1,0,0,2],
 [2,1,1,1],[2,1,1,2],[2,1,2,1],[2,1,2,2],[2,1,0,0],[2,2,1,1],
 [2,2,1,2],[2,2,2,1],[2,2,2,2],[2,2,0,0],[2,0,0,1],[2,0,0,2],
 [0,0,1,1],[0,0,1,2],[0,0,2,1],[0,0,2,2],[0,0,0,0]]

• (nCerosEmparejados m n) es el número de listas de longitud n de ceros emparejados con los números 0, 1, 2,..., m. Por ejemplo,

nCerosEmparejados 2 2   ==  5
nCerosEmparejados 2 3   ==  12
nCerosEmparejados 2 4   ==  29
nCerosEmparejados 9 27  ==  79707842493701635611689499

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Definir la función

productos :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

tal que (productos n x) es las listas de n elementos consecutivos cuyo producto es x. Por ejemplo,

productos 2 6     ==  [[2,3]]
productos 3 6     ==  [[1,2,3]]
productos 4 1680  ==  [[5,6,7,8]]
productos 2 5     ==  []

Comprobar con QuickCheck que si n > 0 y x > 0, entonces

productos n (product [x..x+n-1]) == [[x..x+n-1]]

Usando productos, definir la función

productosDe2y3consecutivos :: [Integer]

cuyos elementos son los números naturales (no nulos) que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos. Por ejemplo,

head productosDe2y3consecutivos  ==  6

Nota. Según demostró Mordell en 1962, productosDe2y3consecutivos sólo tiene dos elementos.

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En este problema se consideran matrices cuyos elementos son 0 y 1. Los valores 1 aparecen en forma de islas rectangulares separadas por 0 de forma que como máximo las islas son diagonalmente adyacentes. Por ejemplo,

ej1, ej2 :: Array (Int,Int) Int
ej1 = listArray ((1,1),(6,3))
                [0,0,0,
                 1,1,0,
                 1,1,0,
                 0,0,1,
                 0,0,1,
                 1,1,0]
ej2 = listArray ((1,1),(6,6))
                [1,0,0,0,0,0,
                 1,0,1,1,1,1,
                 0,0,0,0,0,0,
                 1,1,1,0,1,1,
                 1,1,1,0,1,1,
                 0,0,0,0,1,1]

Definir la función

numeroDeIslas :: Array (Int,Int) Int -> Int

tal que (numeroDeIslas p) es el número de islas de la matriz p. Por ejemplo,

numeroDeIslas ej1  ==  3
numeroDeIslas ej2  ==  4

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