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Valor de una expresión aritmética con variables

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas con variables pueden representarse usando el siguiente tipo de datos

   data Expr = C Int
             | V Char
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr

Por ejemplo, la expresión 2·(a+5) se representa por

   P (C 2) (S (V 'a') (C 5))

Definir la función

   valor :: Expr -> [(Char,Int)] -> Int

tal que valor x e es el valor de la expresión x en el entorno e (es decir, el valor de la expresión donde las variables de x se sustituyen por los valores según se indican en el entorno e). Por ejemplo,

   λ> valor (P (C 2) (S (V 'a') (V 'b'))) [('a',2),('b',5)]
   14

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El tipo de las expresiones aritméticas con variables

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

1. El tipo de las expresiones aritméticas con variables en Haskell

La expresión 2*(a+5) puede representarse por

   P (C 2) (S (V 'a') (C 5))

usando el tipo de las expresiones aritméticas con variables definido como se muestra a continuación.

module Expresion_aritmetica_con_variables where

data Expr = C Int
          | V Char
          | S Expr Expr
          | P Expr Expr

2. El tipo de las expresiones aritméticas con variables en Python

La expresión 2*(a+5) puede representarse por

   P(C(2), S(V('a'), C(5)))

usando el tipo de las expresiones aritméticas con variables definido como se muestra a continuación.

from dataclasses import dataclass


@dataclass
class Expr:
    pass

@dataclass
class C(Expr):
    x: int

@dataclass
class V(Expr):
    x: str

@dataclass
class S(Expr):
    x: Expr
    y: Expr

@dataclass
class P(Expr):
    x: Expr
    y: Expr

Número de variables de una expresión aritmética

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas construidas con una variable (denotada por X), los números enteros y las operaciones de sumar y multiplicar se pueden representar mediante el tipo de datos Expr definido por

   data Expr = X
             | C Int
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr

Por ejemplo, la expresión X·(13+X) se representa por

   P X (S (C 13) X)

Definir la función

   numVars :: Expr -> Int

tal que numVars e es el número de variables en la expresión e. Por ejemplo,

   numVars (C 3)               ==  0
   numVars X                   ==  1
   numVars (P X (S (C 13) X))  ==  2

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Valor de una expresión aritmética con una variable

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Las expresiones aritméticas construidas con una variable (denotada por X), los números enteros y las operaciones de sumar y multiplicar se pueden representar mediante el tipo de datos Expr definido por

   data Expr = X
             | C Int
             | S Expr Expr
             | P Expr Expr

Por ejemplo, la expresión X·(13+X) se representa por

   P X (S (C 13) X)

Definir la función

   valor :: Expr -> Int -> Int

tal que valor e n es el valor de la expresión e cuando se sustituye su variable por n. Por ejemplo,

   valor (P X (S (C 13) X)) 2  ==  30

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Tipo de expresiones aritméticas con una variable

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

1. El tipo de las expresiones aritméticas con una variable en Haskell

La expresión X·(13+X) se representa por

   P(X(), S(C(13), X()))

usando el tipo de las expresiones aritméticas con una variable (denotada por X) que se define como se muestra a continuación,

data Expr = C Int
          | V Char
          | S Expr Expr
          | P Expr Expr

2. El tipo de las expresiones aritméticas con una variable en Python

La expresión X*(13+X) se representa por

   P(X(), S(C(13), X()))

usando el tipo de las expresiones aritméticas con una variable (denotada por X) que se define como se muestra a continuación,

from dataclasses import dataclass


@dataclass
class Expr:
    pass

@dataclass
class X(Expr):
    pass

@dataclass
class C(Expr):
    x: int

@dataclass
class S(Expr):
    x: Expr
    y: Expr

@dataclass
class P(Expr):
    x: Expr
    y: Expr

Aplicación de una función a una expresión aritmética

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Usando el tipo de las expresiones aritméticas básicas, definir la función

   aplica :: (Int -> Int) -> Expr -> Expr

tal que aplica f e es la expresión obtenida aplicando la función f a cada uno de los números de la expresión e. Por ejemplo,

   λ> aplica (+2) (S (P (C 3) (C 5)) (P (C 6) (C 7)))
   S (P (C 5) (C 7)) (P (C 8) (C 9))
   λ> aplica (*2) (S (P (C 3) (C 5)) (P (C 6) (C 7)))
   S (P (C 6) (C 10)) (P (C 12) (C 14))

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El tipo de las expresiones aritméticas básicas

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

1. El tipo de las expresiones aritméticas básicas en Haskell

La expresión aritmética 2*(3+7) se representa por

   P (C 2) (S (C 3) (C 7))

usando el tipo de dato definido a continuación.

module Expresion_aritmetica_basica where

data Expr = C Int
          | S Expr Expr
          | P Expr Expr

2. El tipo de las expresiones aritméticas básicas en Python

La expresión aritmética 2*(3+7) se representa por

   P(C(2), S(C(3), C(7)))

usando el tipo de dato definido a continuación.

from dataclasses import dataclass


@dataclass
class Expr:
    pass

@dataclass
class C(Expr):
    x: int

@dataclass
class S(Expr):
    x: Expr
    y: Expr

@dataclass
class P(Expr):
    x: Expr
    y: Expr

Valor de un árbol booleano

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Se consideran los árboles con operaciones booleanas definidos por

   data Arbol = H Bool
              | Conj Arbol Arbol
              | Disy Arbol Arbol
              | Neg Arbol

Por ejemplo, los árboles

               Conj                            Conj
              /   \                           /   \
             /     \                         /     \
          Disy      Conj                  Disy      Conj
         /   \       /  \                /   \      /   \
      Conj    Neg   Neg True          Conj    Neg   Neg  True
      /  \    |     |                 /  \    |     |
   True False False False          True False True  False

se definen por

   ej1, ej2:: Arbol
   ej1 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))
                    (Neg (H False)))
              (Conj (Neg (H False))
                    (H True))

   ej2 = Conj (Disy (Conj (H True) (H False))
                    (Neg (H True)))
              (Conj (Neg (H False))
                    (H True))

Definir la función

   valor :: Arbol -> Bool

tal que valor a) es el resultado de procesar el árbol a realizando las operaciones booleanas especificadas en los nodos. Por ejemplo,

   valor ej1 == True
   valor ej2 == False

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Árbol de factorización

Tipos definidos y tipos de datos algebraicos

Los divisores medios de un número son los que ocupan la media entre los divisores de n, ordenados de menor a mayor. Por ejemplo, los divisores de 60 son [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60] y sus divisores medios son 6 y 10. Para los números que son cuadrados perfectos, sus divisores medios de son sus raíces cuadradas; por ejemplos, los divisores medios de 9 son 3 y 3.

El árbol de factorización de un número compuesto n se construye de la siguiente manera:

  • la raíz es el número n,
  • la rama izquierda es el árbol de factorización de su divisor medio menor y
  • la rama derecha es el árbol de factorización de su divisor medio mayor

Si el número es primo, su árbol de factorización sólo tiene una hoja con dicho número. Por ejemplo, el árbol de factorización de 60 es

       60
      /  \
     6    10
    / \   / \
   2   3 2   5

Definir la función

   arbolFactorizacion :: Int -> Arbol

tal que arbolFactorizacion n es el árbol de factorización de n. Por ejemplo,

   arbolFactorizacion 60 == N 60 (N 6 (H 2) (H 3)) (N 10 (H 2) (H 5))
   arbolFactorizacion 45 == N 45 (H 5) (N 9 (H 3) (H 3))
   arbolFactorizacion 7  == H 7
   arbolFactorizacion 9  == N 9 (H 3) (H 3)
   arbolFactorizacion 14 == N 14 (H 2) (H 7)
   arbolFactorizacion 28 == N 28 (N 4 (H 2) (H 2)) (H 7)
   arbolFactorizacion 84 == N 84 (H 7) (N 12 (H 3) (N 4 (H 2) (H 2)))

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