Definir la función

   posiciones :: Char -> String -> [Int]

tal que posiciones x ys es la lista de la posiciones del carácter x en la cadena ys. Por ejemplo,

   posiciones 'a' "Salamamca"   ==  [1,3,5,8]

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Se consideran las siguientes reglas de mayúsculas iniciales para los títulos:

• la primera palabra comienza en mayúscula y
• todas las palabras que tienen 4 letras como mínimo empiezan con mayúsculas

Definir la función

   titulo :: [String] -> [String]

tal que titulo ps es la lista de las palabras de ps con las reglas de mayúsculas iniciales de los títulos. Por ejemplo,

   λ> titulo ["eL","arTE","DE","La","proGraMacion"]
   ["El","Arte","de","la","Programacion"]

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Definir la función

   mayusculaInicial :: String -> String

tal que mayusculaInicial xs es la palabra xs con la letra inicial en mayúscula y las restantes en minúsculas. Por ejemplo,

   mayusculaInicial "sEviLLa"  ==  "Sevilla"
   mayusculaInicial ""         ==  ""

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Definir la función

   sumaDigitos :: String -> Int

tal que sumaDigitos xs' es la suma de los dígitos de la cadenaxs`. Por ejemplo,

   sumaDigitos "SE 2431 X"  ==  10

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Un número de Lychrel es un número para el que nunca se obtiene un capicúa mediante el proceso de invertir las cifras y sumar los dos números. Por ejemplo, los siguientes números no son números de Lychrel: + 56, ya que en un paso se obtiene un capicúa: 56+65=121. + 57, ya que en dos pasos se obtiene un capicúa: 57+75=132, 132+231=363 + 59, ya que en dos pasos se obtiene un capicúa: 59+95=154, 154+451=605, 605+506=1111 + 89, ya que en 24 pasos se obtiene un capicúa. En esta serie de ejercicios vamos a buscar el primer número de Lychrel.

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El objetivo de este ejercicio es estudiar un algoritmo para validar algunos identificadores numéricos como los números de algunas tarjetas de crédito; por ejemplo, las de tipo Visa o Master Card.

El algoritmo que vamos a estudiar es el algoritmo de Luhn consistente en aplicar los siguientes pasos a los dígitos del número de la tarjeta.

1. Se invierten los dígitos del número; por ejemplo, [9,4,5,5] se transforma en [5,5,4,9].
2. Se duplican los dígitos que se encuentra en posiciones impares (empezando a contar en 0); por ejemplo, [5,5,4,9] se transforma en [5,10,4,18].
3. Se suman los dígitos de cada número; por ejemplo, [5,10,4,18] se transforma en 5 + (1 + 0) + 4 + (1 + 8) = 19.
4. Si el último dígito de la suma es 0, el número es válido; y no lo es, en caso contrario.

A los números válidos, se les llama números de Luhn.

Definir las siguientes funciones:

   digitosInv    :: Integer -> [Integer]
   doblePosImpar :: [Integer] -> [Integer]
   sumaDigitos   :: [Integer] -> Integer
   ultimoDigito  :: Integer -> Integer
   luhn          :: Integer -> Bool

tales que

• digitosInv n es la lista de los dígitos del número n, en orden inverso. Por ejemplo,

     digitosInv 320274  ==  [4,7,2,0,2,3]

• doblePosImpar ns es la lista obtenida doblando los elementos de ns en las posiciones impares (empezando a contar en cero y dejando igual a los que están en posiciones pares. Por ejemplo,

     doblePosImpar [4,9,5,5]    ==  [4,18,5,10]
     doblePosImpar [4,9,5,5,7]  ==  [4,18,5,10,7]

• sumaDigitos ns es la suma de los dígitos de ns. Por ejemplo,

     sumaDigitos [10,5,18,4] = 1 + 0 + 5 + 1 + 8 + 4 =
                             = 19

• ultimoDigito n es el último dígito de n. Por ejemplo,

     ultimoDigito 123 == 3
     ultimoDigito   0 == 0

• luhn n se verifica si n es un número de Luhn. Por ejemplo,

     luhn 5594589764218858  ==  True
     luhn 1234567898765432  ==  False

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Definir la función

   subconjuntos :: [a] -> [[a]]

tal que subconjuntos xs es la lista de las subconjuntos de la lista xs. Por ejemplo,

   λ> subconjuntos [2,3,4]
   [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]
   λ> subconjuntos [1,2,3,4]
   [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],
      [2,3,4],  [2,3],  [2,4],  [2],  [3,4],  [3],  [4], []]

Comprobar con QuickChek que el número de elementos de subconjuntos xs es 2 elevado al número de elementos de xs.

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Definir la función

   producto :: [a] -> [b] -> [(a,b)]

tal que producto xs ys es el producto cartesiano de xs e ys. Por ejemplo,

   producto [1,3] [2,4] == [(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)]

Comprobar con QuickCheck que el número de elementos de producto xs y es el producto del número de elementos de xs y de ys.

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Definir la función

   mayorExponente :: Integer -> Integer -> Integer

tal que mayorExponente a b es el exponente de la mayor potencia de a que divide a b. Por ejemplo,

   mayorExponente 2 8    ==  3
   mayorExponente 2 9    ==  0
   mayorExponente 5 100  ==  2
   mayorExponente 2 60   ==  2

Nota: Se supone que a > 1 y b > 0.

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Definir la función

   listaNumero :: [Integer] -> Integer

tal que listaNumero xs es el número formado por los dígitos xs. Por ejemplo,

   listaNumero [5]        == 5
   listaNumero [1,3,4,7]  == 1347
   listaNumero [0,0,1]    == 1

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