El número π puede calcularse con la fórmula de Leibniz

   π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1) + ...

Definir las funciones

   calculaPi :: Int -> Double
   errorPi   :: Double -> Int

tales que

• calculaPi n es la aproximación del número π calculada mediante la expresión

     4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))

Por ejemplo,

     calculaPi 3    ==  2.8952380952380956
     calculaPi 300  ==  3.1449149035588526

• errorPi x es el menor número de términos de la serie necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorPi 0.1    ==    9
     errorPi 0.01   ==   99
     errorPi 0.001  ==  999

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El limite de sen(x)/x, cuando x tiende a cero, se puede calcular como el límite de la sucesión sen(1/n)/(1/n), cuando n tiende a infinito.

Definir las funciones

   aproxLimSeno :: Int -> [Double]
   errorLimSeno :: Double -> Int

tales que

• aproxLimSeno n es la lista de los n primeros términos de la sucesión sen(1/m)/(1/m). Por ejemplo,

     aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965]
     aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406]

• errorLimSeno x es el menor número de términos de la sucesión sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorLimSeno 0.1     ==   2
     errorLimSeno 0.01    ==   5
     errorLimSeno 0.001   ==  13
     errorLimSeno 0.0001  ==  41

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El número e se define como el límite de la sucesión [latex]\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n[/latex].

Definir las funciones

   aproxE      :: Int -> [Double]
   errorAproxE :: Double -> Int

tales que

• aproxE k es la lista de los k primeros términos de la sucesión. Por ejemplo,

     aproxE 4 == [2.0,2.25,2.37037037037037,2.44140625]
     last (aproxE (7*10^7))  ==  2.7182818287372563

• errorE x es el menor número de términos de la sucesión necesarios para obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorAproxE 0.1    ==  13
     errorAproxE 0.01   ==  135
     errorAproxE 0.001  ==  1359

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En el círculo de radio 2 hay 6 puntos cuyas coordenadas son puntos naturales:

   (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)

y en de radio 3 hay 11:

   (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0)

Definir la función

   circulo :: Int -> Int

tal que circulo n es el la cantidad de pares de números naturales (x,y) que se encuentran en el círculo de radio n. Por ejemplo,

   circulo 1    ==  3
   circulo 2    ==  6
   circulo 3    ==  11
   circulo 4    ==  17
   circulo 100  ==  7955

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Definir la función

   euler1 :: Integer -> Integer

tal que euler1 n es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que n. Por ejemplo,

   euler1 10      == 23
   euler1 (10^2)  == 2318
   euler1 (10^3)  == 233168
   euler1 (10^4)  == 23331668
   euler1 (10^5)  == 2333316668
   euler1 (10^10) == 23333333331666666668
   euler1 (10^20) == 2333333333333333333316666666666666666668
   euler1 (10^30) == 233333333333333333333333333333166666666666666666666666666668

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 1 del Proyecto Euler

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Definir la lista

  abundantesImpares :: [Integer]

cuyos elementos son los números abundantes impares. Por ejemplo,

   λ> take 12 abundantesImpares
   [945,1575,2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615]

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Definir la función

   todosPares :: Integer -> Bool

tal que todosPares n se verifica si todos los números abundantes menores o iguales que n son pares. Por ejemplo,

   todosPares 10    ==  True
   todosPares 100   ==  True
   todosPares 1000  ==  False

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Un número natural n se denomina abundante si es menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 es abundante ya que la suma de sus divisores propios es 16 (= 1 + 2 + 3 + 4 + 6), pero 5 y 28 no lo son.

Definir la función

   numerosAbundantesMenores :: Integer -> [Integer]

tal que numerosAbundantesMenores n es la lista de números abundantes menores o iguales que n. Por ejemplo,

   numerosAbundantesMenores 50  ==  [12,18,20,24,30,36,40,42,48]
   numerosAbundantesMenores 48  ==  [12,18,20,24,30,36,40,42,48]
   length (numerosAbundantesMenores (10^6)) ==  247545

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Un número natural n se denomina abundante si es menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 es abundante ya que la suma de sus divisores propios es 16 (= 1 + 2 + 3 + 4 + 6), pero 5 y 28 no lo son.

Definir la función

   numeroAbundante :: Int -> Bool

tal que numeroAbundante n se verifica si n es un número abundante. Por ejemplo,

   numeroAbundante 5  == False
   numeroAbundante 12 == True
   numeroAbundante 28 == False
   numeroAbundante 30 == True
   numeroAbundante 100000000  ==  True
   numeroAbundante 100000001  ==  False

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Un números entero positivo es perfecto es igual a la suma de sus divisores, excluyendo el propio número. Por ejemplo, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3.

Definir la función

   perfectos :: Integer -> [Integer]

tal que perfectos n es la lista de todos los números perfectos menores o iguales que n. Por ejemplo,

   perfectos 500     ==  [6,28,496]
   perfectos (10^5)  ==  [6,28,496,8128]

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