Definir la función
sumaSiTodosJustos :: (Num a, Eq a) => [Maybe a] -> Maybe a
tal que (sumaSiTodosJustos xs) es justo la suma de todos los elementos de xs si todos son justos (es decir, si Nothing no pertenece a xs) y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,
sumaSiTodosJustos [Just 2, Just 5] == Just 7 sumaSiTodosJustos [Just 2, Just 5, Nothing] == Nothing
Definir la función
media3 :: Float -> Float -> Float -> Float
tal que (media3 x y z) es la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo,
media3 1 3 8 == 4.0 media3 (-1) 0 7 == 2.0 media3 (-3) 0 3 == 0.0
Mañana comenzará en en este blog un curso práctico de introducción a la programación con Haskell y Python.
Diariamente, se publicará un ejercicio con sus soluciones en Haskell y en Python. El orden de los ejercicios se corresponde con el de los temas del curso de Programación funcional con Haskell. Además, en cada ejercicio se comentarán las diferencias entre ambos lenguajes y se irá extendiendo la tabla de equivalencia entre Haskell y Python.
Definir la sucesión
sumasDeDosPrimos :: [Integer]
cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo,
λ> take 23 sumasDeDosPrimos [4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,24,25,26,28,30,31] λ> sumasDeDosPrimos !! (5*10^5) 862878
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]
De esta forma se va formando una sucesión
0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,...
que se conoce como la sucesión de Thue-Morse.
Definir la sucesión
sucThueMorse :: [Int]
cuyos elementos son los de la sucesión de Thue-Morse. Por ejemplo,
λ> take 30 sucThueMorse [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0] λ> map (sucThueMorse4 !!) [1234567..1234596] [1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0] λ> map (sucThueMorse4 !!) [4000000..4000030] [1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1]
Comprobar con QuickCheck que si s(n) representa el término n-ésimo de la sucesión de Thue-Morse, entonces
s(2n) = s(n) s(2n+1) = 1 - s(n)
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario (es decir, la lista obtenida cambiando el 0 por 1 y el 1 por 0). Los primeros términos de la serie son
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0]
Definir la lista
serieThueMorse :: [[Int]]
tal que sus elementos son los términos de la serie de Thue-Morse. Por ejemplo,
λ> take 4 serieThueMorse [[0],[0,1],[0,1,1,0],[0,1,1,0,1,0,0,1]]
Un número n es k-belga si la sucesión cuyo primer elemento es k y cuyos elementos se obtienen sumando reiteradamente las cifras de n contiene a n.
El 18 es 0-belga, porque a partir del 0 vamos a ir sumando sucesivamente 1, 8, 1, 8, ... hasta llegar o sobrepasar el 18: 0, 1, 9, 10, 18, ... Como se alcanza el 18, resulta que el 18 es 0-belga.
El 19 no es 1-belga, porque a partir del 1 vamos a ir sucesivamente 1, 9, 1, 9, ... hasta llegar o sobrepasar el 18: 0, 1, 10, 11, 20, 21, ... Como no se alcanza el 19, resulta que el 19 no es 1-belga.
Definir la función
esBelga :: Int -> Int -> Bool
tal que (esBelga k n) se verifica si n es k-belga. Por ejemplo,
esBelga 0 18 == True esBelga 1 19 == False esBelga 0 2016 == True [x | x <- [0..30], esBelga 7 x] == [7,10,11,21,27,29] [x | x <- [0..30], esBelga 10 x] == [10,11,20,21,22,24,26] length [n | n <- [1..10^6], esBelga 0 n] == 272049
Comprobar con QuickCheck que para todo número entero positivo n, si k es el resto de n entre la suma de los dígitos de n, entonces n es k-belga.
El hueco de un número primo p es la distancia entre p y primo siguiente de p. Por ejemplo, el hueco de 7 es 4 porque el primo siguiente de 7 es 11 y 4 = 11-7. Los huecos de los primeros números son
Primo Hueco 2 1 3 2 7 4 11 2
El hueco de un número primo p es maximal si es mayor que huecos de todos los números menores que p. Por ejemplo, 4 es un hueco maximal de 7 ya que los huecos de los primos menores que 7 son 1 y 2 y ambos son menores que 4. La tabla de los primeros huecos maximales es
Primo Hueco 2 1 3 2 7 4 23 6 89 8 113 14 523 18 887 20
Definir la sucesión
primosYhuecosMaximales :: [(Integer,Integer)]
cuyos elementos son los números primos con huecos maximales junto son sus huecos. Por ejemplo,
λ> take 8 primosYhuecosMaximales [(2,1),(3,2),(7,4),(23,6),(89,8),(113,14),(523,18),(887,20)] λ> primosYhuecosMaximales !! 20 (2010733,148)
La indicatriz de Euler (también función φ de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Por ejemplo, φ(36) = 12 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.
Definir la función
phi :: Integer -> Integer
tal que (phi n) es igual a φ(n). Por ejemplo,
phi 36 == 12 map phi [10..20] == [4,10,4,12,6,8,8,16,6,18,8] phi (3^10^5) `mod` (10^9) == 681333334 length (show (phi (10^(10^5)))) == 100000
Comprobar con QuickCheck que, para todo n > 0, φ(10^n) tiene n dígitos.
Definir la función
sucSumaCuadradosDigitos :: Integer -> [Integer]
tal que (sucSumaCuadradosDigitos n) es la sucesión cuyo primer término es n y los restantes se obtienen sumando los cuadrados de los dígitos de su término anterior. Por ejemplo,
λ> take 20 (sucSumaCuadradosDigitos1 2000) [2000,4,16,37,58,89,145,42,20,4,16,37,58,89,145,42,20,4,16,37] λ> take 20 (sucSumaCuadradosDigitos 1976) [1976,167,86,100,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] λ> sucSumaCuadradosDigitos 2000 !! (10^9) 20