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Números triangulares con n cifras distintas

Misceláneas

Los números triangulares se forman como sigue

   *     *      *
        * *    * *
              * * *
   1     3      6

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son

    1 = 1
    3 = 1 + 2
    6 = 1 + 2 + 3
   10 = 1 + 2 + 3 + 4
   15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Definir la función

   triangularesConCifras :: Int -> [Integer]

tal que triangularesConCifras n es la lista de los números triangulares con n cifras distintas. Por ejemplo,

   take 6 (triangularesConCifras 1)   ==  [1,3,6,55,66,666]
   take 6 (triangularesConCifras 2)   ==  [10,15,21,28,36,45]
   take 6 (triangularesConCifras 3)   ==  [105,120,136,153,190,210]
   take 5 (triangularesConCifras 4)   ==  [1035,1275,1326,1378,1485]
   take 2 (triangularesConCifras 10)  ==  [1062489753,1239845706]

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Trenzado de listas

Misceláneas

Definir la función

   trenza :: [a] -> [a] -> [a]

tal que (trenza xs ys) es la lista obtenida intercalando los elementos de xs e ys. Por ejemplo,

   trenza [5,1] [2,7,4]             ==  [5,2,1,7]
   trenza [5,1,7] [2..]             ==  [5,2,1,3,7,4]
   trenza [2..] [5,1,7]             ==  [2,5,3,1,4,7]
   take 8 (trenza [2,4..] [1,5..])  ==  [2,1,4,5,6,9,8,13]

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Biparticiones de una lista

Misceláneas

Definir la función

   biparticiones :: [a] -> [([a],[a])]

tal que (biparticiones xs) es la lista de pares formados por un prefijo de xs y el resto de xs. Por ejemplo,

   λ> biparticiones [3,2,5]
   [([],[3,2,5]),([3],[2,5]),([3,2],[5]),([3,2,5],[])]
   λ> biparticiones "Roma"
   [("","Roma"),("R","oma"),("Ro","ma"),("Rom","a"),("Roma","")]

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Mayor producto de las ramas de un árbol

Misceláneas

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

   data Arbol a = N a [Arbol a]
     deriving Show

Por ejemplo, los árboles

      1              3
     / \            /|\
    2   3          / | \
        |         5  4  7
        4         |     /\
                  6    2  1

se representan por

   ej1, ej2 :: Arbol Int
   ej1 = N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]]
   ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]

Definir la función

   mayorProducto :: (Ord a, Num a) => Arbol a -> a

tal que (mayorProducto a) es el mayor producto de las ramas del árbol a. Por ejemplo,

   λ> mayorProducto (N 1 [N 2 [], N  3 []])
   3
   λ> mayorProducto (N 1 [N 8 [], N  4 [N 3 []]])
   12
   λ> mayorProducto (N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]])
   12
   λ> mayorProducto (N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]])
   90
   λ> mayorProducto (N (-8) [N 0 [N (-9) []],N 6 []])
   0
   λ> a = N (-4) [N (-7) [],N 14 [N 19 []],N (-1) [N (-6) [],N 21 []],N (-4) []]
   λ> mayorProducto a
   84

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Número de pares de elementos adyacentes iguales en una matriz

Misceláneas

Una matriz se puede representar mediante una lista de listas. Por ejemplo, la matriz

|2 1 5|
|4 3 7|

se puede representar mediante la lista

[[2,1,5],[4,3,7]]

Definir la función

numeroParesAdyacentesIguales :: Eq a => [[a]] -> Int

tal que (numeroParesAdyacentesIguales xss) es el número de pares de elementos consecutivos (en la misma fila o columna) iguales de la matriz xss. Por ejemplo,

numeroParesAdyacentesIguales [[0,1],[0,2]]              ==  1
numeroParesAdyacentesIguales [[0,0],[1,2]]              ==  1
numeroParesAdyacentesIguales [[0,1],[0,0]]              ==  2
numeroParesAdyacentesIguales [[1,2],[1,4],[4,4]]        ==  3
numeroParesAdyacentesIguales ["ab","aa"]                ==  2
numeroParesAdyacentesIguales [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]  ==  12
numeroParesAdyacentesIguales [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]  ==  8

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Elemento más repetido de manera consecutiva

Misceláneas

Definir la función

masRepetido :: Ord a => [a] -> (a,Int)

tal que (masRepetido xs) es el elemento de xs que aparece más veces de manera consecutiva en la lista junto con el número de sus apariciones consecutivas; en caso de empate, se devuelve el mayor de dichos elementos. Por ejemplo,

masRepetido [1,1,4,4,1]  ==  (4,2)
masRepetido [4,4,1,1,5]  ==  (4,2)
masRepetido "aadda"      ==  ('d',2)
masRepetido "ddaab"      ==  ('d',2)
masRepetido (show (product [1..5*10^4]))  ==  ('0',12499)

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Regiones determinadas por n rectas del plano

Misceláneas

En los siguientes dibujos se observa que el número máximo de regiones en el plano generadas con 1, 2 ó 3 líneas son 2, 4 ó 7, respectivamente.

                   \  |
                    \5|
                     \|
                      \
                      |\
                      | \
            |         |  \
 1        1 | 3     1 | 3 \  6
------   ---|---   ---|----\---
 2        2 | 4     2 | 4   \ 7
            |         |      \

Definir la función

regiones :: Integer -> Integer

tal que (regiones n) es el número máximo de regiones en el plano generadas con n líneas. Por ejemplo,

regiones 1     ==  2
regiones 2     ==  4
regiones 3     ==  7
regiones 100   ==  5051
regiones 1000  ==  500501
regiones 10000 ==  50005001
length (show (regiones (10^(10^5)))) ==  200000
length (show (regiones (10^(10^6)))) ==  2000000
length (show (regiones (10^(10^7)))) ==  20000000

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Ampliación de matrices por columnas

Misceláneas

Las matrices enteras se pueden representar mediante tablas con índices enteros:

type Matriz = Array (Int,Int) Int

Definir la función

ampliaColumnas :: Matriz -> Matriz -> Matriz

tal que (ampliaColumnas p q) es la matriz construida añadiendo las columnas de la matriz q a continuación de las de p (se supone que tienen el mismo número de filas). Por ejemplo, si p y q representa las dos primeras matrices, entonces (ampliaColumnas p q) es la tercera

|0 1|    |4 5 6|    |0 1 4 5 6|
|2 3|    |7 8 9|    |2 3 7 8 9|

En Haskell, se definen las dos primeras matrices se definen por

ej1 = listArray ((1,1),(2,2)) [0..3]
ej2 = listArray ((1,1),(2,3)) [4..9]

y el cálculo de la tercera es

λ> ampliaColumnas ej1 ej2
array ((1,1),(2,5)) [((1,1),0),((1,2),1),((1,3),4),((1,4),5),((1,5),6),
                     ((2,1),2),((2,2),3),((2,3),7),((2,4),8),((2,5),9)]
λ> elems (ampliaColumnas ej1 ej2)
[0,1,4,5,6,2,3,7,8,9]

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Emparejamiento binario

Misceláneas

Definir la función

zipBinario :: [a -> b -> c] -> [a] -> [b] -> [c]

tal que (zipBinario fs xs ys) es la lista obtenida aplicando cada una de las operaciones binarias de fs a los correspondientes elementos de xs e ys. Por ejemplo,

zipBinario [(+), (*), (*)] [2,2,2] [4,4,4]    == [6,8,8]
zipBinario [(+)] [2,2,2] [4,4,4]              == [6]
zipBinario [(<), (==), (==)] "coloca" "lobo"  == [True,True,False]

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Ordenación de estructuras

Misceláneas

Las notas de los dos primeros exámenes se pueden representar mediante el siguiente tipo de dato

data Notas = Notas String Int Int
  deriving (Read, Show, Eq)

Por ejemplo, (Notas "Juan" 6 5) representar las notas de un alumno cuyo nombre es Juan, la nota del primer examen es 6 y la del segundo es 5.

Definir la función

ordenadas :: [Notas] -> [Notas]

tal que (ordenadas ns) es la lista de las notas ns ordenadas considerando primero la nota del examen 2, a continuación la del examen 1 y finalmente el nombre. Por ejemplo,

λ> ordenadas [Notas "Juan" 6 5, Notas "Luis" 3 7]
[Notas "Juan" 6 5,Notas "Luis" 3 7]
λ> ordenadas [Notas "Juan" 6 5, Notas "Luis" 3 4]
[Notas "Luis" 3 4,Notas "Juan" 6 5]
λ> ordenadas [Notas "Juan" 6 5, Notas "Luis" 7 4]
[Notas "Luis" 7 4,Notas "Juan" 6 5]
λ> ordenadas [Notas "Juan" 6 4, Notas "Luis" 7 4]
[Notas "Juan" 6 4,Notas "Luis" 7 4]
λ> ordenadas [Notas "Juan" 6 4, Notas "Luis" 5 4]
[Notas "Luis" 5 4,Notas "Juan" 6 4]
λ> ordenadas [Notas "Juan" 5 4, Notas "Luis" 5 4]
[Notas "Juan" 5 4,Notas "Luis" 5 4]
λ> ordenadas [Notas "Juan" 5 4, Notas "Eva" 5 4]
[Notas "Eva" 5 4,Notas "Juan" 5 4]

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