Definir la función
interseccionParcial :: Ord a => Int -> [[a]] -> [a]
tal que (interseccionParcial n xss) es la lista de los elementos que pertenecen al menos a n conjuntos de xss. Por ejemplo,
interseccionParcial 1 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [3,4,5,9,7] interseccionParcial 2 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [4,5] interseccionParcial 3 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == [4] interseccionParcial 4 [[3,4],[4,5,9],[5,4,7]] == []
Definir las funciones
unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] interseccionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
tales que
unionGeneral [] == [] unionGeneral [[1]] == [1] unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]] == [1,2,3] unionGeneral ([[x] | x <- [1..9]]) == [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
interseccionGeneral [[1]] == [1] interseccionGeneral [[2],[1,2],[2,3]] == [2] interseccionGeneral [[2,7,5],[1,5,2],[5,2,3]] == [2,5] interseccionGeneral ([[x] | x <- [1..9]]) == [] interseccionGeneral (replicate (10^6) [1..5]) == [1,2,3,4,5]
Definir la función
cerosDelFactorial :: Integer -> Integer
tal que (cerosDelFactorial n) es el número de ceros en que termina el factorial de n. Por ejemplo,
cerosDelFactorial 24 == 4 cerosDelFactorial 25 == 6 length (show (cerosDelFactorial (10^70000))) == 70000
Un número n es autodescriptivo cuando para cada posición k de n (empezando a contar las posiciones a partir de 0), el dígito en la posición k es igual al número de veces que ocurre k en n. Por ejemplo, 1210 es autodescriptivo porque tiene 1 dígito igual a "0", 2 dígitos iguales a "1", 1 dígito igual a "2" y ningún dígito igual a "3".
Definir la función
autodescriptivo :: Integer -> Bool
tal que (autodescriptivo n) se verifica si n es autodescriptivo. Por ejemplo,
λ> autodescriptivo 1210 True λ> [x | x <- [1..100000], autodescriptivo x] [1210,2020,21200] λ> autodescriptivo 9210000001000 True
Una forma de aproximar el número π es usando la siguiente igualdad: \[ \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \cdots \]
Es decir, la serie cuyo término general n-ésimo es el cociente entre el producto de los primeros n números y los primeros n números impares: \[ s(n) = \frac{\prod\limits_{i=1}^n i}{\prod\limits_{i=1}^n (2i + 1)} \]
Definir la función
aproximaPi :: Integer -> Double
tal que (aproximaPi n) es la aproximación del número π calculada con la serie anterior hasta el término n-ésimo. Por ejemplo,
aproximaPi 10 == 3.1411060206 aproximaPi 20 == 3.1415922987403397 aproximaPi 30 == 3.1415926533011596 aproximaPi 40 == 3.1415926535895466 aproximaPi 50 == 3.141592653589793 aproximaPi (10^4) == 3.141592653589793 pi == 3.141592653589793
Un número con n dígitos es pandigital si contiene todos los dígitos del 1 a n exactamente una vez. Por ejemplo, 2143 es un pandigital con 4 dígitos y, además, es primo.
Definir la lista
pandigitalesPrimos :: [Int]
tal que sus elementos son los números pandigitales primos, ordenados de mayor a menor. Por ejemplo,
take 3 pandigitalesPrimos == [7652413,7642513,7641253] 2143 `elem` pandigitalesPrimos == True length pandigitalesPrimos == 538
La codificación de Fibonacci de un número n es una cadena d = d(0)d(1)...d(k-1)d(k) de ceros y unos tal que
n = d(0)·F(2) + d(1)·F(3) +...+ d(k-1)·F(k+1) d(k-1) = d(k) = 1
donde F(i) es el i-ésimo término de la sucesión de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Por ejemplo, la codificación de Fibonacci de 4 es "1011" ya que los dos últimos elementos son iguales a 1 y
1·F(2) + 0·F(3) + 1·F(4) = 1·1 + 0·2 + 1·3 = 4
La codificación de Fibonacci de los primeros números se muestra en la siguiente tabla
1 = 1 = F(2) ≡ 11 2 = 2 = F(3) ≡ 011 3 = 3 = F(4) ≡ 0011 4 = 1+3 = F(2)+F(4) ≡ 1011 5 = 5 = F(5) ≡ 00011 6 = 1+5 = F(2)+F(5) ≡ 10011 7 = 2+5 = F(3)+F(5) ≡ 01011 8 = 8 = F(6) ≡ 000011 9 = 1+8 = F(2)+F(6) ≡ 100011 10 = 2+8 = F(3)+F(6) ≡ 010011 11 = 3+8 = F(4)+F(6) ≡ 001011 12 = 1+3+8 = F(2)+F(4)+F(6) ≡ 101011 13 = 13 = F(7) ≡ 0000011 14 = 1+13 = F(2)+F(7) ≡ 1000011
Definir la función
codigoFib :: Integer -> String
tal que (codigoFib n) es la codificación de Fibonacci del número n. Por ejemplo,
λ> codigoFib 65 "0100100011" λ> [codigoFib n | n <- [1..7]] ["11","011","0011","1011","00011","10011","01011"]
Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades:
La cadena infinita "1234321234321234321...", formada por la repetición de los dígitos 123432, tiene una propiedad (en la que se basa el funcionamiento del reloj astronómico de Praga: la cadena se puede partir en una sucesión de números, de forma que la suma de los dígitos de dichos números es la sucesión de los números naturales, como se observa a continuación:
1, 2, 3, 4, 32, 123, 43, 2123, 432, 1234, 32123, ... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Definir la lista
reloj :: [Integer]
cuyos elementos son los términos de la sucesión anterior. Por ejemplo,
λ> take 11 reloj [1,2,3,4,32,123,43,2123,432,1234,32123] λ> (reloj !! 1000) `mod` (10^50) 23432123432123432123432123432123432123432123432123
Nota: La relación entre la sucesión y el funcionamiento del reloj se puede ver en The Mathematics Behind Prague's Horloge Introduction.
El método de bisección para calcular un cero de una función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:
"Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c en (a, b) para el que f(c) = 0".
El método para calcular un cero de la función f en el intervalo [a,b] con un error menor que e consiste en tomar el punto medio del intervalo c = (a+b)/2 y considerar los siguientes casos:
Definir la función
biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double
tal que (biseccion f a b e) es una aproximación del punto del intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo,
biseccion (\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01 == 1.7333984375 biseccion (\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01 == 1.521484375 biseccion cos 0 2 0.01 == 1.5625 biseccion (\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01 == -5.125
Un número n es especial si mcm(1,2,...,n-1) = mcm(1,2,...,n). Por ejemplo, el 6 es especial ya que
mcm(1,2,3,4,5) = 60 = mcm(1,2,3,4,5,6)
Definir la sucesión
especiales :: [Integer]
cuyos términos son los números especiales. Por ejemplo,
take 10 especiales == [1,6,10,12,14,15,18,20,21,22] especiales !! 50 == 84 especiales !! 500 == 638 especiales !! 5000 == 5806 especiales !! 50000 == 55746