La conjetura de Waring sobre los números primos establece que todo número impar es primo o la suma de tres primos. La conjetura de Goldbach afirma que todo par mayor que 2 es la suma de dos números primos. Ambos ha estado abiertos durante más de 200 años. En este problema no se propone su solución, sino una tarea más simple: buscar una manera de expresar los enteros mayores que 7 como suma de exactamente cuatro números primos; es decir, definir la función

suma4primos :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer,Integer)]

tal que (suma4primos n) es la lista de las cuádruplas crecientes (a,b,c,d) de números primos cuya suma es n (que se supone mayor que 7). Por ejemplo,

suma4primos 18             == [(2,2,3,11),(2,2,7,7),(3,3,5,7),(3,5,5,5)]
head (suma4primos (10^14)) == (2,2,23,99999999999973)

Comprobar con QuickCheck que todo entero mayor que 7 se puede escribir como suma de exactamente cuatro números primos.

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Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.

Definir la sucesión

sumasDeDosAbundantes :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,

take 10 sumasDeDosAbundantes  ==  [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50]

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Definir la función

sumaDivisores :: Integer -> Integer

tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

sumaDivisores 12  ==  28
sumaDivisores 25  ==  31
sumaDivisores (product [1..25])  ==  93383273455325195473152000
length (show (sumaDivisores (product [1..30000])))  ==  121289
maximum (map sumaDivisores [1..10^5])  ==  403200

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Definir la función

numeroDivisores :: Integer -> Integer

tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,

numeroDivisores 12  ==  6
numeroDivisores 25  ==  3
length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4])))  ==  1948

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Definir la función

divisores :: Integer -> [Integer]

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,

divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
length (divisores (product [1..10]))  ==  270
length (divisores (product [1..25]))  ==  340032

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Definir la función

esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool

tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.

esPotenciaDeDos    1        == True
esPotenciaDeDos    2        == True
esPotenciaDeDos    6        == False
esPotenciaDeDos    8        == True
esPotenciaDeDos 1024        == True
esPotenciaDeDos 1026        == False
esPotenciaDeDos (2^(10^8))  == True

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Una [partición)(https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition) de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.

Definir la función

particiones :: Int -> [[Int]]

tal que (particiones n) es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,

particiones 4  ==  [[4],[3,1],[2,2],[2,1,1],[1,1,1,1]]
particiones 5  ==  [[5],[4,1],[3,2],[3,1,1],[2,2,1],[2,1,1,1],[1,1,1,1,1]]
length (particiones 50)  ==  204226

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El producto escalar de los vectores [a1,a2,...,an] y [b1,b2,..., bn] es

a1 * b1 + a2 * b2 + ··· + an * bn.

Definir la función

menorProductoEscalar :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a

tal que (menorProductoEscalar xs ys) es el mínimo de los productos escalares de las permutaciones de xs y de las permutaciones de ys. Por ejemplo,

menorProductoEscalar [3,2,5]  [1,4,6]    == 29
menorProductoEscalar [3,2,5]  [1,4,-6]   == -19
menorProductoEscalar [1..10^2] [1..10^2] == 171700
menorProductoEscalar [1..10^3] [1..10^3] == 167167000
menorProductoEscalar [1..10^4] [1..10^4] == 166716670000
menorProductoEscalar [1..10^5] [1..10^5] == 166671666700000
menorProductoEscalar [1..10^6] [1..10^6] == 166667166667000000

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Los puntos se puede representar mediante pares de números

type Punto = (Int,Int)

y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato

data Region = Rectangulo Punto  Punto
| Union      Region Region
| Diferencia Region Region
deriving (Eq, Show)

donde

• (Rectangulo p1 p2) es la región formada por un rectángulo cuyo vértice superior izquierdo es p1 y su vértice inferior derecho es p2.
• (Union r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a alguna de las regiones r1 y r2.
• (Diferencia r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a la región r1 pero no pertenecen a la r2.

Definir la función

enRegion :: Punto -> Region -> Bool

tal que (enRegion p r) se verifica si el punto p pertenece a la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por

r0021, r3051, r4162 :: Region
r0021 = Rectangulo (0,0) (2,1)
r3051 = Rectangulo (3,0) (5,1)
r4162 = Rectangulo (4,1) (6,2)

se tiene

enRegion (1,0) r0021                                   ==  True
enRegion (3,0) r0021                                   ==  False
enRegion (1,1) (Union r0021 r3051)                     ==  True
enRegion (4,0) (Union r0021 r3051)                     ==  True
enRegion (4,2) (Union r0021 r3051)                     ==  False
enRegion (3,1) (Diferencia r3051 r4162)                ==  True
enRegion (4,1) (Diferencia r3051 r4162)                ==  False
enRegion (4,2) (Diferencia r3051 r4162)                ==  False
enRegion (4,2) (Union (Diferencia r3051 r4162) r4162)  ==  True

Comprobar con QuickCheck que si el punto p está en la región r1, entonces, para cualquier región r2, p está en (Union r1 r2) y en (Union r2 r1), pero no está en (Diferencia r2 r1).

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Un conjunto A está cerrado respecto de una función f si para elemento x de A se tiene que f(x) pertenece a A. La clausura de un conjunto B respecto de una función f es el menor conjunto A que contiene a B y es cerrado respecto de f. Por ejemplo, la clausura de {0,1,2] respecto del opuesto es {-2,-1,0,1,2}.

Definir la función

clausura :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

tal que (clausura f xs) es la clausura de xs respecto de f. Por ejemplo,

clausura (\x -> -x) [0,1,2]         ==  [-2,-1,0,1,2]
clausura (\x -> (x+1) `mod` 5) [0]  ==  [0,1,2,3,4]
length (clausura (\x -> (x+1) `mod` (10^6)) [0]) == 1000000

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