El fichero Digitos_de_pi.txt contiene el número pi con un millón de decimales; es decir,

3.1415926535897932384626433832 ... 83996346460422090106105779458151

Definir la función

posiciones :: String -> Int -> IO [Int]

tal que (posicion cs k) es es la lista de las posiciones iniciales de cs en la sucesión formada por los k primeros dígitos decimales del número pi. Por ejemplo,

λ> posiciones "141" 1000
[0,294]
λ> posiciones "4159" 10000
[1,5797,6955,9599]

Calcular la primera posición de 2019 en los decimales de pi y el número de veces que aparece 2019 en en el primer millón de decimales de pi.

Leer más…

Un número altamente compuesto es un entero positivo con más divisores que cualquier entero positivo más pequeño. Por ejemplo,

• 4 es un número altamente compuesto porque es el menor con 3 divisores,
• 5 no es altamente compuesto porque tiene menos divisores que 4 y
• 6 es un número altamente compuesto porque es el menor con 4 divisores,

Los primeros números altamente compuestos son

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, ...

Definir las funciones

esAltamenteCompuesto       :: Int -> Bool
altamenteCompuestos        :: [Int]
graficaAltamenteCompuestos :: Int -> IO ()

tales que

• (esAltamanteCompuesto x) se verifica si x es altamente compuesto. Por ejemplo,

esAltamenteCompuesto 4      ==  True
esAltamenteCompuesto 5      ==  False
esAltamenteCompuesto 6      ==  True
esAltamenteCompuesto 1260   ==  True
esAltamenteCompuesto 2520   ==  True
esAltamenteCompuesto 27720  ==  True

• altamente compuestos es la sucesión de los números altamente compuestos. Por ejemplo,

λ> take 20 altamenteCompuestos
[1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560]

• (graficaAltamenteCompuestos n) dibuja la gráfica de los n primeros números altamente compuestos. Por ejemplo, (graficaAltamenteCompuestos 25) dibuja

Leer más…

Un conjunto de números enteros se pueden representar mediante una lista ordenada de intervalos tales que la diferencia entre el menor elemento de un intervalo y el mayor elemento de su intervalo anterior es mayor que uno.

Por ejemplo, el conjunto {2, 7, 4, 3, 9, 6} se puede representar mediante la lista de intervalos [(2,4),(6,7),(9,9)] de forma que en el primer intervalo se agrupan los números 2, 3 y 4; en el segundo, los números 6 y 7 y el tercero, el número 9.

Definir la función

intervalos :: [Int] -> [(Int,Int)]

tal que (intervalos xs) es lista ordenada de intervalos que representa al conjunto xs. Por ejemplo,

λ> intervalos [2,7,4,3,9,6]
[(2,4),(6,7),(9,9)]
λ> intervalos [180,141,174,143,142,175]
[(141,143),(174,175),(180,180)]

Leer más…

En una tienda tiene la "oferta 3 por 2" de forma que cada cliente que elige 3 artículos obtiene el más barato de forma gratuita. Por ejemplo, si los precios de los artículos elegidos por un cliente son 10, 2, 4, 5 euros pagará 19 euros si agrupa los artículos en (10,2,4) y (5) o pagará 17 si lo agupa en (5,10,4) y (2).

Definir la función

minimoConOferta :: [Int] -> Int

tal que (minimoConOferta xs) es lo mínimo que pagará el cliente si los precios de la compra son xs; es decir, lo que pagará agrupando los artículos de forma óptima para aplicar la oferta 3 por 2. Por ejemplo,

minimoConOferta [10,2,4,5]     ==  17
minimoConOferta [3,2,3,2]      ==  8
minimoConOferta [6,4,5,5,5,5]  ==  21

Leer más…

Definir la función

mayorPrefijoAcotado :: [Int] -> Int -> [Int]

tal que (mayorPrefijoAcotado xs y) es el mayor prefijo de la lista de los números enteros positivos xs cuya suma es menor o igual que y. Por ejemplo,

mayorPrefijoAcotado [45,30,55,20,80,20] 75   ==  [45,30]
mayorPrefijoAcotado [45,30,55,20,80,20] 140  ==  [45,30,55]
mayorPrefijoAcotado [45,30,55,20,80,20] 180  ==  [45,30,55,20]
length (mayorPrefijoAcotado (repeat 1) (8*10^6)) == 8000000

Leer más…

Los árboles binarios con valores enteros se pueden representar mediante el tipo Arbol definido por

data Arbol = H Int
           | N Int Arbol Arbol
           deriving Show

Por ejemplo, el árbol

      7
     / \
    /   \
   /     \
  4       9
 / \     / \
1   3   5   6

se puede representar por

N 7 (N 4 (H 1) (H 3)) (N 9 (H 5) (H 6))

Un árbol es monovalorado si todos sus elementos son iguales. Por ejemplo, de los siguientes árboles sólo son monovalorados los dos primeros

  5          9           5          9
 / \        / \         / \        / \
5   5      9   9       5   6      9   7
              / \                    / \
             9   9                  9   9

Definir la función

monovalorados :: Arbol -> [Arbol]

tal que (monovalorados a) es la lista de los subárboles monovalorados de a. Por ejemplo,

λ> monovalorados (N 5 (H 5) (H 5))
[N 5 (H 5) (H 5),H 5,H 5]
λ> monovalorados (N 5 (H 5) (H 6))
[H 5,H 6]
λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 9 (H 9) (H 9)))
[N 9 (H 9) (N 9 (H 9) (H 9)),H 9,N 9 (H 9) (H 9),H 9,H 9]
λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 7 (H 9) (H 9)))
[H 9,H 9,H 9]
λ> monovalorados (N 9 (H 9) (N 9 (H 7) (H 9)))
[H 9,H 7,H 9]

Leer más…

Las ternas de números naturales se pueden ordenar como sigue

(0,0,0),
(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),
(0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(2,0,0),
(0,0,3),(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0),(1,0,2),(1,1,1),(1,2,0),(2,0,1),...
...

Definir la función

posicion :: (Int,Int,Int) -> Int

tal que (posicion (x,y,z)) es la posición de la terna de números naturales (x,y,z) en la ordenación anterior. Por ejemplo,

posicion (0,1,0)  ==  2
posicion (0,0,2)  ==  4
posicion (0,1,1)  ==  5

Comprobar con QuickCheck que

• la posición de (x,0,0) es x(x²+6x+11)/6
• la posición de (0,y,0) es y(y²+3y+ 8)/6
• la posición de (0,0,z) es z(z²+3z+ 2)/6
• la posición de (x,x,x) es x(9x²+14x+7)/2

Leer más…

El producto escalar de los vectores [a1,a2,...,an] y [b1,b2,..., bn] es

a1·b1 + a2·b2 + ··· + an·bn.

Definir la función

menorProductoEscalar :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a

tal que (menorProductoEscalar xs ys) es el mínimo de los productos escalares de las permutaciones de xs y de las permutaciones de ys. Por ejemplo,

menorProductoEscalar [3,2,5]  [1,4,6]         == 29
menorProductoEscalar [3,2,5]  [1,4,-6]        == -19
menorProductoEscalar [0..9]   [0..9]          == 120
menorProductoEscalar [0..99]  [0..99]         == 161700
menorProductoEscalar [0..999] [0..999]        == 166167000
menorProductoEscalar3 [0..9999] [0..9999]     == 166616670000
menorProductoEscalar3 [0..99999] [0..99999]   == 166661666700000
menorProductoEscalar3 [0..999999] [0..999999] == 166666166667000000

Leer más…

Una particularidad del 2019 es que se puede escribir como una cadena de dos subnúmeros consecutivos (el 20 y el 19).

Definir la función

cadena :: Integer -> [Integer]

tal que (cadena n) es la cadena de subnúmeros consecutivos de n cuya unión es n; es decir, es la lista de números [x,x-1,...x-k] tal que su concatenación es n. Por ejemplo,

cadena 2019         == [20,19]
cadena 2018         == [2018]
cadena 1009         == [1009]
cadena 110109       == [110,109]
cadena 201200199198 == [201,200,199,198]
cadena 3246         == [3246]
cadena 87654        == [8,7,6,5,4]
cadena 123456       == [123456]
cadena 1009998      == [100,99,98]
cadena 100908       == [100908]
cadena 1110987      == [11,10,9,8,7]
cadena 210          == [2,1,0]
cadena 1            == [1]
cadena 0            == [0]
cadena 312          == [312]
cadena 191          == [191]
length (cadena (read (concatMap show [2019,2018..0])))  ==  2020

Nota: Los subnúmeros no pueden empezar por cero. Por ejemplo, [10,09] no es una cadena de 1009 como se observa en el tercer ejemplo.

Leer más…

Un número de la suerte es un número natural que se genera por una criba, similar a la criba de Eratóstenes, como se indica a continuación:

Se comienza con la lista de los números enteros a partir de 1:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25...

Se eliminan los números de dos en dos

1,  3,  5,  7,  9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25...

Como el segundo número que ha quedado es 3, se eliminan los números restantes de tres en tres:

1,  3,      7,  9,         13,   15,         19,   21,         25...

Como el tercer número que ha quedado es 7, se eliminan los números restantes de siete en siete:

1,  3,      7,  9,         13,   15,               21,         25...

Este procedimiento se repite indefinidamente y los supervivientes son los números de la suerte:

1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79

Definir las funciones

numerosDeLaSuerte  :: [Int]
esNumeroDeLaSuerte :: Int -> Bool

tales que

• numerosDeLaSuerte es la sucesión de los números de la suerte. Por ejemplo,

λ> take 20 numerosDeLaSuerte
[1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79]
λ> numerosDeLaSuerte !! 277
2019
λ> numerosDeLaSuerte !! 2000
19309

• (esNumeroDeLaSuerte n) que se verifica si n es un número de la suerte. Por ejemplo,

esNumeroDeLaSuerte 15    ==  True
esNumeroDeLaSuerte 16    ==  False
esNumeroDeLaSuerte 2019  ==  True

Leer más…