Primos gemelos próximos a múltiplos de 6
Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.
Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6n-1,6n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6·3-1,6·3+1).
Definir las funciones
primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
tales que
- (primosGemelos n) es la lista de los primos gemelos menores que n. Por ejemplo,
primosGemelos 50 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43)] primosGemelos 43 == [(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31)]
- (primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n) es la lista de los primos gemelos menores que n que no están próximos a un múltiplo de 6. Por ejemplo,
primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50 == [(3,5)] length (primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' (10^9)) == 1
Soluciones
primosGemelos :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosGemelos n = [(x,x+2) | x <- [3,5..n-3], primo x, primo (x+2)] primo :: Integer -> Bool primo n = divisores n == [1,n] divisores :: Integer -> [Integer] divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0] proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool proximosAmultiplosDe6 (x,y) = (x+1) `mod` 6 == 0 && y == 6*n+1 where n = (x+1) `div` 6 primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 n = [p | p <- primosGemelos n, not (proximosAmultiplosDe6 p)] -- Experimentado con primosGemelosNProximosAmultiplosDe6 -- primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 50 == [(3,5)] -- primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 500 == [(3,5)] -- primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6 5000 == [(3,5)] -- se observa que el único par de primos gemelos no próximos a múltiplos -- de 6 es el (3,5). Su demostración es la siguiente: -- -- Para cualquier n > 3, se tiene que de los tres números n-1, n. n+1 -- uno es divisible por 2 y alguno es divisible por 3. Si n-1 y n+1 son -- primos, entonces el que es divisible por 2 y por 3 es n y, por tanto, -- n es divisible por 6 y (n-1,n+1) están próximos a un múltiplo de 6. -- Usando la propiedad tenemos una definición más eficiente primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosGemelosNoProximosAmultiplosDe6' n = [(3,5)]