Ir al contenido principal

El algoritmo binario del mcd

El máximo común divisor (mcd) de dos números enteros no negativos se puede calcular mediante un algoritmo binario basado en las siguientes propiedades:

  1. Si a,b son pares, entonces mcd(a,b) = 2*mcd(a/2,b/2)
  2. Si a es par y b impar, entonces mcd(a,b) = mcd(a/2,b)
  3. Si a es impar y b par, entonces mcd(a,b) = mcd(a,b/2)
  4. Si a y b son impares y a > b, entonces mcd(a,b) = mcd((a-b)/2,b)
  5. Si a y b son impares y a < b, entonces mcd(a,b) = mcd(a,(b-a)/2)
  6. mcd(a,0) = a
  7. mcd(0,b) = b
  8. mcd(a,a) = a

Por ejemplo, el cálculo del mcd(660,420) es

mcd(660,420)
= 2*mcd(330,210)    [por 1]
= 2*2*mcd(165,105)  [por 1]
= 2*2*mcd(30,105)   [por 4]
= 2*2*mcd(15,105)   [por 2]
= 2*2*mcd(15,45)    [por 4]
= 2*2*mcd(15,15)    [por 4]
= 2*2*15            [por 8]
= 60

Definir la función

mcd :: Integer -> Integer -> Integer

Definir la función

tal que (mcd a b) es el máximo común divisor de a y b calculado mediante el algoritmo binario del mcd. Por ejemplo,

mcd 660 420  ==  60
mcd 3 0      ==  3
mcd 0 3      ==  3

Comprobar con QuickCheck que, para los enteros no negativos, las funciones mcd y gcd son equivalentes.

Soluciones

import Test.QuickCheck

mcd :: Integer -> Integer -> Integer
mcd a 0 = a
mcd 0 b = b
mcd a b | a == b           = a
        | even a && even b = 2 * mcd (a `div` 2) (b `div` 2)
        | even a           = mcd (a `div` 2)     b
        | even b           = mcd a               (b `div` 2)
        | a > b            = mcd ((a-b) `div` 2) b
        | otherwise        = mcd a               ((b-a) `div` 2)

-- Propiedad de equivalencia
prop_mcd :: Integer -> Integer -> Bool
prop_mcd a b = mcd a1 b1 == gcd a1 b1
    where a1 = abs a
          b1 = abs b

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_mcd
--    +++ OK, passed 100 tests.