Precisión de aproximaciones de pi

José A. Alonso

27-02-2017

La precisión de una aproximación x de pi es el número de dígitos comunes entre el inicio de x y de pi. Por ejemplo, puesto que 355/113 es 3.1415929203539825 y pi es 3.141592653589793, la precisión de 355/113 es 7.

Definir las siguientes funciones

mayorPrefijoComun :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
precisionPi       :: Double -> Int
precisionPiCR     :: CReal -> Int

tales que

(mayorPrefijoComun xs ys) es el mayor prefijo común de xs e ys. Por ejemplo,

mayorPrefijoComun []      [2,3,4,5]  ==  []
mayorPrefijoComun [2,3,5] []         ==  []
mayorPrefijoComun [2,3,5] [2,3,4,5]  ==  [2,3]
mayorPrefijoComun [2,3,5] [2,5,3,4]  ==  [2]
mayorPrefijoComun [2,3,5] [5,2,3,4]  ==  []

(precisionPi x) es la precisión de la aproximación de pi x. Por ejemplo,

precisionPi (25/8)              ==  2
precisionPi (22/7)              ==  3
precisionPi (sqrt 2 + sqrt 3)   ==  3
precisionPi (377/120)           ==  4
precisionPi (31**(1/3))         ==  4
precisionPi (7^7/4^9)           ==  5
precisionPi (355/113)           ==  7
precisionPi ((2143/22)**(1/4))  ==  9

(precisionPiCR x) es la precisión de la aproximación de pi x, como números reales. Por ejemplo,

precisionPiCR (log (640320^3+744)/(sqrt 163))                        == 31
precisionPiCR (log (5280^3*(236674+30303*sqrt 61)^3+744)/(sqrt 427)) == 53

Nota: Para la definición precisionPiCR se usa la librería Data.Number.CReal que se instala con

cabal install numbers

Soluciones

import Data.Number.CReal

-- mayorPrefijoComún
-- =================

-- 1ª definición
mayorPrefijoComun :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
mayorPrefijoComun [] _ = []
mayorPrefijoComun _ [] = []
mayorPrefijoComun (x:xs) (y:ys)
  | x == y    = x : mayorPrefijoComun xs ys
  | otherwise = []

-- 2ª definición
mayorPrefijoComun2 :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
mayorPrefijoComun2 xs ys =
  [x | (x,y) <- takeWhile (\(x,y) -> x == y) (zip xs ys)]

-- 3ª definición
mayorPrefijoComun3 :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
mayorPrefijoComun3 xs ys =
  [x | (x,y) <- takeWhile (uncurry (==)) (zip xs ys)]

-- 4ª definición
mayorPrefijoComun4 :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
mayorPrefijoComun4 xs =
  map fst . takeWhile (uncurry (==)) . zip xs

-- 5ª definición
mayorPrefijoComun5 :: Eq a => [a] -> [a] -> [a]
mayorPrefijoComun5 =
  ((map fst . takeWhile (uncurry (==))) .) . zip

-- precisionPi
-- ===========

-- 1ª definición
precisionPi :: Double -> Int
precisionPi x =
  length (mayorPrefijoComun xs ys) - 1
  where xs = show x
        ys = show pi

-- 2ª definición
precisionPi2 :: Double -> Int
precisionPi2 =
  pred . length . mayorPrefijoComun (show pi) . show

-- precisionPiCR
-- =============

precisionPiCR :: CReal -> Int
precisionPiCR = aux 50
  where aux n x | p < n-1   = p
                | otherwise = aux (n+50) x
          where p = precisionPiCRHasta n x

-- (precisionPiCRHasta n x) es la precisión de pi acotada por n. Por
-- ejemplo,
--    precisionPiCRHasta 1 3.14   ==  2
--    precisionPiCRHasta 5 3.14   ==  3
--    precisionPiCRHasta 5 3.142  ==  3
--    precisionPiCRHasta 5 3.141  ==  4
precisionPiCRHasta :: Int -> CReal -> Int
precisionPiCRHasta n x =
  length (mayorPrefijoComun xs ys) - 1
  where xs = showCReal n x
        ys = showCReal n pi