Normalización de expresiones aritméticas

José A. Alonso

26-04-2017

El siguiente tipo de dato representa expresiones construidas con variables, sumas y productos

data Expr = Var String
          | S Expr Expr
          | P Expr Expre
          deriving (Eq, Show)

Por ejemplo, x*(y+z) se representa por (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))

Una expresión es un término si es un producto de variables. Por ejemplo, x*(y*z) es un término pero x+(y*z) ni x*(y+z) lo son.

Una expresión está en forma normal si es una suma de términos. Por ejemplo, x*(y*z) y x+(y*z) están en forma normal; pero x*(y+z) y (x+y)*(x+z) no lo están.

Definir la función

esTermino :: Expr -> Bool
esTermino :: Expr -> Bool
normal    :: Expr -> Expr

tales que

(esTermino a) se verifica si a es un término. Por ejemplo,

esTermino (V "x")                         == True
esTermino (P (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == True
esTermino (P (V "x") (S (V "y") (V "z"))) == False
esTermino (S (V "x") (P (V "y") (V "z"))) == False

(esNormal a) se verifica si a está en forma normal. Por ejemplo,

esNormal (V "x")                                     == True
esNormal (P (V "x") (P (V "y") (V "z")))             == True
esNormal (S (V "x") (P (V "y") (V "z")))             == True
esNormal (P (V "x") (S (V "y") (V "z")))             == False
esNormal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "y") (V "z"))) == False
esNormal (S (P (V "x") (V "y")) (S (V "z") (V "x"))) == True

(normal e) es la forma normal de la expresión e obtenida aplicando, mientras que sea posible, las propiedades distributivas:

(a+b)*c = a*c+b*c
c*(a+b) = c*a+c*b

Por ejemplo,

λ> normal (P (S (V "x") (V "y")) (V "z"))
S (P (V "x") (V "z")) (P (V "y") (V "z"))
λ> normal (P (V "z") (S (V "x") (V "y")))
S (P (V "z") (V "x")) (P (V "z") (V "y"))
λ> normal (P (S (V "x") (V "y")) (S (V "u") (V "v")))
S (S (P (V "x") (V "u")) (P (V "x") (V "v")))
   (S (P (V "y") (V "u")) (P (V "y") (V "v")))
λ> normal (S (P (V "x") (V "y")) (V "z"))
S (P (V "x") (V "y")) (V "z")
λ> normal (V "x")
V "x"

Comprobar con QuickCheck que para cualquier expresión e, (normal e) está en forma normal y que (normal (normal e)) es igual a (normal e).

Nota. Para la comprobación se usará el siguiente generador de expresiones aritméticas

import Test.QuickCheck
import Control.Monad

instance Arbitrary Expr where
  arbitrary = sized arb
    where
      arb 0         = liftM V arbitrary
      arb n | n > 0 = oneof [liftM V arbitrary,
                             liftM2 S sub sub,
                             liftM2 P sub sub]
        where sub = arb (n `div` 2)

Soluciones

import Test.QuickCheck
import Control.Monad

data Expr = V String
          | S Expr Expr
          | P Expr Expr
          deriving (Eq, Show)

esTermino :: Expr -> Bool
esTermino (V _)   = True
esTermino (S _ _) = False
esTermino (P a b) = esTermino a && esTermino b

esNormal :: Expr -> Bool
esNormal (S a b) = esNormal a && esNormal b
esNormal a       = esTermino a

normal :: Expr -> Expr
normal (V v)   = V v
normal (S a b) = S (normal a) (normal b)
normal (P a b) = p (normal a) (normal b)
  where p (S a b) c = S (p a c) (p b c)
        p a (S b c) = S (p a b) (p a c)
        p a b       = P a b

prop_normal :: Expr -> Bool
prop_normal e =
     esNormal (normal e)
  && normal (normal e) == normal e

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_normal
--    +++ OK, passed 100 tests.

instance Arbitrary Expr where
  arbitrary = sized arb
    where
      arb 0         = liftM V arbitrary
      arb n | n > 0 = oneof [liftM V arbitrary,
                             liftM2 S sub sub,
                             liftM2 P sub sub]
        where sub = arb (n `div` 2)